经济应用数学基础 微积分第九章课件

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1、第九章微分方程与差分方程简介一、微分方程的一般概念二、一阶微分方程三、几种二阶微分方程四、二阶常系数线性微分方程五、差分方程简介9.1微分方程的一般概念解1、问题的提出解代数方程特点：未知变量是数方程：含有未知量(数)的等式。函数方程（泛函方程）特点：未知变量是函数1.微分方程的定义定义：包含自变量，未知函数以及未知函数的某些阶导数的关系式，称之为微分方程。常微分方程：自变量的个数只有一个的微分方程称为常微分方程。偏微分方程：自变量的个数有两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程。★未知函数的导数的最高阶数n称为该方程的阶。当n=1时，称为一阶微分方程；当n>

2、1时，称为高阶微分方程。2.微分方程的阶3.微分方程的解常微分方程的解的表达式中，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，我们称这样的解为该微分方程的通解。在通解中给予任意常数以确定的值而得到的解，称为特解。为了得到合乎要求的特解，需要对微分方程附加一定的条件，它由系统在某一时刻的初始状态给定。称这种条件为初始条件。初始条件常微分方程；微分方程的阶；微分方程的解；通解;初始条件；特解；小结偏微分方程；9.2一阶微分方程一阶微分方程的一般形式是一阶微分方程的初始条件：记作或当时，解法为微分方程的解.分离变量法一、可分离变量的一阶微分方程形如的方

3、程，称为变量分离方程.说明：以后可以不需要详细写出处理绝对值符号的过程。例2求解微分方程解分离变量两端积分例3练习：课本P410,2(1,2,3)二、齐次微分方程的微分方程称为齐次方程.2.解法可分离变量的方程1.定义例2求解微分方程微分方程的解为解例3求解微分方程解微分方程的解为练习：课本p410,3(3,4)一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.例如线性的;非线性的.三、一阶线性微分方程齐次方程的通解为1.线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)2.线性非齐次方程解例3练习：课本P4103(1，2)小结：一阶微分方

4、程的求解一、变量分离方程；二、齐次方程（作变换y=ux）；三、线性方程（常数变异法）9.3几种二阶微分方程二阶微分方程的一般形式为形如的微分方程是最简单的二阶微分方程。一、最简单的二阶微分方程特点：右端是的一元函数。解法：连续求两次积分。例解微分方程特点：右端不显含解法满足初始条件的特解。方程并分离变量后，有两端积分，得例1求微分方程即所以两端积分，得于是所求的特解为特点：右端不显含解法解代入原方程得原方程通解为例2二阶常系数齐次线性方程的一般形式二阶常系数非齐次线性方程的一般形式9.4二阶常系数线性微分方程（补充内容）二、线性微分方程的解的结构1.二阶常系

5、数线性齐次方程解的结构:问题:其中、为常数证明：由前面定理知是（1）的解在不等于常数的条件下，可以证明中含有两个任意常数，所以是（1）的解。若，则，于是其中，因而中只有一个常数，所以不是（1）的通解。满足不等于常数这一条件的两个解称为线性无关的。因此，是（1）的解的充分必要条件是：常数为分析:若能够找到一个函数,使得,且,则什么样的函数具有这样的特点呢?我们很自然想到指数函数为常数,将它代入上式得则有,称为（1）的特征方程。特征方程的根。-----特征方程法将其代入上方程,得故有特征方程特征根有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特征根为有两

6、个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为有一对共轭复根重新组合得齐次方程的通解为特征根为定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.解特征方程为解得故所求通解为例1解特征方程为解得故所求通解为例2小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.(见下表)2.二阶非齐次线性方程的解的结构:设对应齐次方程通解为(3)设非齐次方程通解为设(4)三、常数（或参数）变易法(5)(4),(5)联立方程组积分可得非齐次方程通解为例求非齐次方程的通解。9.5差

7、分方程的一般概念定义9.3设函数，记为。当取非负整数时函数值可以排成一个数列：则差称为函数的差分，也称为一阶差分，记为即。记为，即称为函数的二阶差分。同样可定义三阶差分，四阶差分，二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分。由定义可知差分具有以下性质：（1）（C为常数）（2）例1求（二）差分方程的一般概念定义９.４　含有未知函数差分或表示未知函数几个时期值的符号的方程称为差分方程。形如的方程都是差分方程。方程中含未知函数附标的最大值与最小值的差数称为差分方程的阶。定义９.５　如果一个函数代入差分方程后，方程两边恒等，则称此函数为该差分方程的解。如果差分方程的解中含有

8、独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数，则称它为差分