math-chap6-6.离散数学_群

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1、庄伯金bjzhuang@bupt.edu.cn1第六章典型代数系统庄伯金bjzhuang@bupt.edu.cn2主要内容半群的概念与性质群的概念与性质环的概念与性质域的概念庄伯金bjzhuang@bupt.edu.cn3半群的概念定义：设代数系统V=，•为A上的二元运算，若•满足结合律，则称V为半群。半群由一个集合与一个二元运算组成；满足结合律；若半群满足交换律，则称为可交换半群。定义：设V=为半群，若该半群中的二元运算•含有幺元e，则称V为含幺半群或幺群或独异点。记作若含幺半群满足交换律，则

2、称为交换幺群。庄伯金bjzhuang@bupt.edu.cn4循环幺群定义：为幺群，若存在一个元素g∈A，使得对任意的a∈A，都有a=gn成立，则称为循环幺群，并且称g是A的一个生成元。定理：循环幺群是可交换幺群。庄伯金bjzhuang@bupt.edu.cn5子半群与子幺群定义：设为半群，B⊆A，运算•在B中封闭，则称为的子半群。定义：设为幺群，B⊆A，运算•在B中封闭，且e∈B，则称为的子幺群。定理：设f为代数系统到

3、>的满同态，则有：若为半群，则也是半群；若为幺群，则也是幺群。庄伯金bjzhuang@bupt.edu.cn6群的定义定义：设是代数系统，∘为二元运算。如果∘可结合，存在单位元e∈G，且对G中任何元素x，都有x-1∈G，则称G为群。若群G是有穷集，则称G为有限群，否则称为无限群。群G的基数称为群G的阶；只含单位元的群称为平凡群；若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或Abel群。庄伯金bjzhuang@bupt.edu.cn7群的性质定理：设G为群，∀a,b∈G，方程ax=

4、b和ya=b在G中有且仅有一解。定理：设G为群，则对∀a,b,c∈G，有若ab=ac，则b=c；若ba=ca，则b=c。定理：设G为群，∀a,x,y∈G，且xy，则axay。庄伯金bjzhuang@bupt.edu.cn8子群的定义定义：设G是群，H是G的非空自己，如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群，记作H≤G。若H是G的子群，且H为G的真子集，则称H为G的真子群，记作H

5、群当且仅当∀a,b∈H有ab∈H。庄伯金bjzhuang@bupt.edu.cn9循环群定义：若G是群，若存在a∈G，使得G={ak

6、k∈Z}。则称G是循环群，记作G=，称a为G的生成元。n阶循环群无限循环群定理：设G=是循环群若G是无限循环群，则G只有两个生成元，即a与a-1；若G是n阶循环群，则G含有(n)个生成元。对于任何小于等于n，且与n互质的数r，ar是G的生成元。例：Klein四元群G={a,b,c,e},满足：a*a=b*b=c*c=e*e=e;a*b=c,b*c=a,c*a=b

7、;e为幺元；*可交换。则称为Klein四元群。庄伯金bjzhuang@bupt.edu.cn10庄伯金bjzhuang@bupt.edu.cn11置换群定义(置换)：设S={1,2,...,n}，S上的任何双射函数:S→S称为S上的n元置换。记为：定义：设和是n元置换，则和的复合∘也是n元置换，称为和的乘积，记作。问题：运算的单位元？置换的逆如何求？庄伯金bjzhuang@bupt.edu.cn12置换群定义：设是S上的n元置换，若(i1)=i2,(i2)=i3,...,(ik)=i1且S

8、中其他元素保持不变，则称为S上的k阶轮换，记作(i1i2...ik)。2阶轮换也称为对换。例：庄伯金bjzhuang@bupt.edu.cn13置换群定理：任何n元置换都可以表示成不交的轮换之积。定理：任何n元置换都可以表示成对换之积。定义：Sn为S上所有的n元置换所构成的集合，定义二元运算∘为两个n元置换的乘积，则称为S上的n元对称群，Sn的任何子群称为S上的n元置换群。庄伯金bjzhuang@bupt.edu.cn14环定义：设是代数系统，+和*是二元运算，如果满足以下条件：构成交换群；

9、构成半群；*运算关于+运算适合分配律。则称是一个环。+运算的单位元记作0，*运算中的单位元记作1。a*0=0*a=0庄伯金bjzhuang@bupt.edu.cn15环定义：设是环若环中乘法*适合交换律，则称R是交换环。若环