高中数学——空间向量和立体几何练习题(附答案解析)

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1、wotd资料下载可编辑空间向量练习题1.如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2）,（Ⅰ）证明因为，平面PAB的一个法向量是，所以共线.从而BE⊥平面PAB.又因为平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB.(Ⅱ)解易知设是平面PBE的一个法向量，则由得所以设是平面PAD的一个法向量，则由

2、得所以故可取于是，故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是专业技术资料wotd资料下载可编辑2.如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小；（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离；（Ⅰ）证明取中点，连结．为正三角形，．在正三棱柱中，平面平面，平面．取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，．，，xzABCDOFy，．平面．（Ⅱ）解设平面的法向量为．，．，，令得为平面的一个法向量．由（Ⅰ）知平面，为平面的法向量．，．二面角的大小为．专业技术资

3、料wotd资料下载可编辑（Ⅲ）解由（Ⅱ），为平面法向量，．点到平面的距离．ACDOBEyzx3.如图，在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（1）求证：平面BCD；（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（3）求点E到平面ACD的距离．⑴证明连结OC，．在中，由已知可得而，ACDOBEyzx即∴平面．(2)解以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则，∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为．⑶解设平面ACD的法向量为则专业技术资料wotd资料下载可编辑，∴，令得是平面ACD的一个法向量．又∴点E到平面ACD的距离．4.已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB

4、⊥AC，PA=AC=½AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.（Ⅰ）证明：CM⊥SN；（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,），N（,0,0），S（1,,0）.……4分（Ⅰ）,因为，所以CM⊥SN……6分（Ⅱ）,设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，专业技术资料wotd资料下载可编辑则……9分因为所以SN与片面CMN所成角为45°。……12分5.如图，在三棱柱中，已知学，，

5、，，，网，侧面，（1）求直线C1B与底面ABC所成角正切值；（2）在棱（不包含端点上确定一点的位置,使得(要求说明理由).（3）在（2）的条件下,若，求二面角的大小.解：（1）在直三棱柱中，在平面上的射影为.为直线与底面所成角.…………，即直线与底面所成角正切值为2.…………（2）当E为中点时，.，即…………又，专业技术资料wotd资料下载可编辑，，…………（3）取的中点，的中点，则∥，且，连结，设，连结，则∥，且为二面角的平面角.…………，∴二面角的大小为45°…………专业技术资料