2012数本四 数学分析 绪论

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1、绪论一.数学分析的基本内容研究对象：函数在自然科学、工程技术乃至社会科学的不少领域中都有着广泛的应用。数学分析研究变量间的关系及变化过程，即函数及其性质。如函数的单调性、最值、图像……．主要对象是：2.研究方法：极限是一种从数量上描述变量在无限变化过程中的变化趋势的方法，是变量数学的基本运算。函数（第一章）连续函数（第四章）极限（第二、三章）数学分析以极限为基本思想和基本运算方法研究实变实值函数。3.研究工具：微分（第五、六章）积分（第八、九、十、十一章）微分和积分是两种特殊的极限运算。数学分析通过这两种运算，从微观和宏观

2、两个方面研究函数。4.主要内容:《数学分析》这门课主要由四大块内容组成：极限论、微分论、积分学和级数论(第十二-十五章），分别对一元函数与多元函数（第十六章开始）进行研究。这四大块不是孤立的，而是存在着密切的联系。其中“极限论”是“基础”，其它是“上层建筑”。后面三个部分都是建立在极限的基础上。二.数学分析的形成与发展（详细见教材的附录中“微积分学简史”）1.酝酿与产生时期（十六--十七世纪）古时中国刘徽、祖冲之的割圆术和希腊阿基米德等穷竭法求圆面积等，出现了极限和无穷小思想。微积分诞生在17世纪，主要来自政治，经济和社会

3、发展对数学的巨大推动。15世纪，商业、航海、天文、测量等日益繁荣——流体力学、天文学、几何光学、天文仪器的发展；16世纪，欧洲出现毛瑟枪和火枪——运动学，动力学等的研究；17世纪，Kepler第二行星定律中椭圆面积的计算；数学家面临问题：求面积、体积、速度、加速度、行程等数学家面临问题：切线问题与极值问题17世纪后半叶，Newton和Leibniz独立地发现了高等数学意义上的微积分。牛顿(1642–1727)伟大的英国数学家，物理学家，天文学家和自然科学家。他在数学上的卓越贡献是创立了微积分。1665年他提出正流数(微分)

4、术，次年又提出反流数(积分)术,并于1671年完成《流数术与无穷级数》一书(1736年出版)。他还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等。Newton受巴罗的“巴罗微分三角形”启发发明微积分，所以巴罗在微积分发展史上功不可没。Newton从1665年到1695年，对微积分的创造性成果为：★1665，“正流数术”——微分学；★1666，“反流数术”——积分学；★1666，“流数简论”——标志微积分的诞生；★1669，“分析学”——由此后人称以微积分为主要内容的学科为数学分析★1671，“流数法”★1687，“自然哲学的数

5、学原理”——简称“原理”★1691，“求积术”牛顿的微积分贡献莱布尼兹(1646–1716)德国数学家,哲学家.和牛顿同为微积分的创始人,他在《学艺》杂志上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿.他还设计了作乘法的计算机,系统地阐述二进制计数法,并把它与中国的八卦联系起来.莱布尼兹的主要成果★1675年给出积分号“”，同年引入微分号“d”★1676年给出公式，★1677年，表述微积分基本定理：★1684年，“求极大与极小值和求切线的新方法”★1686年，“深奥的几何与不可分量的无限的分析

6、”2.讨论与研究时期由于微积分的方法和结论与实际是如此吻合，所以即使基础不牢，人们还是乐意去用它，直到19世纪，才开始真正解决问题。在微积分创立之初，牛顿和莱布尼茨的工作都很不完善。因而，导致许多人的批评。然而抨击最有力的是爱尔兰主教贝克莱，他的批评对数学界产生了最令人震撼的撞击，导致了第二次数学危机。如贝克莱指出：牛顿在无穷小量这个问题上，其说不一，十分含糊，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。例如，牛顿当时是这样求函数的导数的：最后取，就得函数的导数为.（十八--十九世纪初）3.严格体系的

7、建立（十九世纪）第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地意见的是法国的达朗贝尔（D’Alembert），他给出极限的思想，但未提供理论。后经拉格朗日(法Lagrange，无穷级数理论)，波尔察诺(捷克Bolzano，连续函数定义），柯西(法Cauchy），维尔斯特拉斯(德国Weirstrass)等人的努力，奠定了微积分严格的基础，解决了第2次数学危机。Cauchy的贡献在于给出了极限的定义，将微积分的基础建立在极限基础上，是分析学的奠基人。Weirstrass的贡献是建立了分析基础的逻辑顺序：实数系——极限论——微积分。B

8、arrowLeibnizNewtonWeierstrassBolzanoCauchy4.微积分的历史功绩微积分的诞生具有划时代意义，是数学史上的分水岭和转折点，这个伟大发明的产生，使得数学明显地不同于从古希腊继承下来的旧数学：旧数学是关于常量的数学，而新数学是关于变量的数学；旧数学是静态的，新数学是动态