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1、数学分析电子教案重庆邮电大学数理学院高等数学教学部沈世云62460842shensy@cqupt.edu.cn第六章不定积分1.不定积分的概念与性质2.换元积分法3.分步积分法4.有理函数的积分5.可化为有理函数的积分6.积分表的使用第一节不定积分的概念及运算法则一、不定积分的概念二、不定积分的基本公式三、不定积分的运算法则四、直接积分法可以说求不定积分的运算与微分运算是互逆的.第一部分我们学习了一元函数的微分,即由已知函数求其导数.但在科学技术中常常知道某函数的导数,要求原来的函数.这就是求原函数或求不定积分
2、的问题.6.1不定积分的概念与运算法则不定积分的概念不定积分的基本公式不定积分的运算法则一、不定积分的概念关于原函数有以下三个问题：1)f(x)满足什么条件,其原函数一定存在？2)若f(x)有原函数,其原函数有多少个？3)f(x)的全体原函数如何表示?原函数存在定理若f(x)在区间I内连续,则在区间I内一定存在f(x)的原函数.简言之：连续函数一定有原函数.若f(x)有原函数,则f(x)的原函数有无穷多个.若F(x)是f(x)的一个原函数,则f(x)的全体原函数可表示为F(x)+C.(C为任意常数)任意常数积分
3、号被积函数被积表达式积分变量解例4设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.解设曲线方程为根据题意知由曲线通过点（1，2）故所求曲线方程为注:1)求导数与求不定积分是互逆运算2)同一函数的不定积分的结果形式会不同可用求导数的方法验证正确性.二、不定积分的基本公式实例由于积分运算和微分运算是互逆的,因此可以根据求导公式得出积分公式.基本积分表解三、不定积分的运算法则（积分法则）所以等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情形）被积函数变形化为两个函数之和有理假分式化为
4、整式与真分式之和利用三角恒等式变形例18.求积分解第二节不定积分的计算一、“凑”微分法二、换元积分法四、有理函数的积分表三、分部积分法五、其他类型积分表举例问题解决方法利用一阶微分形式不变性.过程一、“凑”微分法（第一类换元法）第一类换元公式（凑微分法）说明：使用此公式的目的在于化难为易难易代回原变量一般地令u=cosx练习1求解注:当被积函数是三角函数相乘时,可考虑拆开奇次项去凑微分.解法一解法二例20求解例21(1)求解(2)求解凑微分法常见类型:二、换元积分法（第二类换元法）问题解决方法改变中间变量的设置
5、方法.过程令再用“凑微分”难易代换x=ψ(t),dx一起换积分后,代回原变量第二类换元公式例22求解注:以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.例25求解令说明当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令(其中n为各根指数的最小公倍数).例26求解令说明当分母的阶较高时,可采用倒代换例27求令解小结：1）换元法积分法常见类型:(7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换2）、基本积分表(2)解原式=解：微分
6、法中的乘法何种积分法？三、分部积分法得分部积分公式：用法：关键：选择要得当，也就是要使1)v容易求得;例30求两个不同类型函数乘积的积分，换元法失效。显然，选择不当，积分更难进行.解法二解法一分部积分法适合求两个不同类型函数乘积的积分。解令解题技巧:把被积函数视为两个函数之积,按“反对幂指三”的顺序,前者为后者为例34.求解:令,则原式=反:反三角函数对:对数函数幂:幂函数指:指数函数三:三角函数例35.解：联立,解之得：例35*.求解:令,则∴原式再令,则故原式=说明:也可设为三角函数,但两次所设类型必须一
7、致.例38.证明递推公式证:注:或先用换元法再用分部积分法代回原变量例40求积分解Ⅲ与换元法相结合常用方法:解两边同时对求导,得初等函数的导数仍是初等函数,但求不定积分却不那么简单,有些不定积分不能用初等函数来表示,如是非初等函数,即初等函数的原函数不一定是初等函数.思考题思考题解答解解四、有理函数的积分两个多项式的商表示的函数.有理函数的定义:假定分子与分母之间没有公因式.这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；其中都是非负整数；及都是实数，并且利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.多项式
8、的积分容易求得.问题:如何求有理真分式的积分?方法:将有理真分式化为最简分式(即部分分式).多项式有理真分式由代数基本定理:多项式Q(x)在实数范围内能分解成一次因式和二次质因式的乘积,即本节采用的方法就是将有理真分式化为最简分式(即部分分式)之和.分母中若有因式,则分解后有k个部分分式之和：有理函数化为部分分式之和的一般规律：特别地,如果分解后有其中都是常数.则分解后有下列k个部分之
