第一章 函数及极限习题详解

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1、第一章函数与极限习题详解第一章函数与极限习题1-11．求下列函数的自然定义域：（1）；解：依题意有，则函数定义域．（2）；解：依题意有，则函数定义域．（3）；解：依题意有，则函数定义域．（4）；解：依题意有，则函数定义域．（5）解：依题意有定义域．（6）.解：依题意有，则函数定义域．2．已知定义域为，求()的定义域．解：因为定义域为，所以当时，得函数的定义域为；当时，得函数定义域为；当时，得函数定义域为；当时，得函数定义域为：（1）若，；（2）若，；（3）若，．3．设其中求函数值．解：因为，则，．26第

2、一章函数与极限习题详解4．设，求与，并做出函数图形．解：，即，，即，函数图形略．5．设试证：证明：，即，得证．6．下列各组函数中，与是否是同一函数？为什么？（1）；不是，因为定义域和对应法则都不相同．（2）；是．（3）；不是，因为对应法则不同．（4）；不是，因为定义域不同．7．确定下列函数在给定区间内的单调性：（1），；解：当时，函数单调递增，也是单调递增，则在内也是递增的．（2），．解：，当时，函数单调递增，则是单调递减的，故原函数是单调递减的．8.判定下列函数的奇偶性．（1）；解：因为，所以是奇函数

3、．（2）；解：因为，所以是偶函数．（3）；解：因为，，所以既非奇函数，又非偶函数．26第一章函数与极限习题详解（4）.解：因为，所以函数是偶函数．9．设是定义在上的任意函数，证明：（1）是偶函数，是奇函数；（2）可表示成偶函数与奇函数之和的形式.证明：（1）令，则，所以是偶函数，是奇函数．（2）任意函数，由（1）可知是偶函数，是奇函数，所以命题得证．10．证明：函数在区间上有界的充分与必要条件是：函数在上既有上界又有下界.证明：（必要性）若函数在区间上有界，则存在正数，使得，都有成立，显然，即证得函数在

4、区间上既有上界又有下界（充分性）设函数在区间上既有上界，又有下界，即有，取，则有，即函数在区间上有界．11．下列函数是否是周期函数？对于周期函数指出其周期：（1）；周期函数，周期为．（2）；周期函数，周期为2．（3）；不是周期函数．（4）.周期函数，周期为．12．求下列函数的反函数：（1）；　解：依题意，，则，所以反函数为．（2）；解：依题意，，则反函数．（3）；解：依题意，，所以反函数．（4）．26第一章函数与极限习题详解解：依题意，，所以反函数．13．在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这

5、函数分别对应于给定自变量值和的函数值：（1）；（2）．解：（1）（2），，．14．在一圆柱形容器内倒进某种溶液，该容器的底半径为，高为．当倒进溶液后液面的高度为时，溶液的体积为．试把表示为的函数，并指出其定义区间．解：依题意有，则．15．某城市的行政管理部门，在保证居民正常用水需要的前提下，为了节约用水，制定了如下收费方法：每户居民每月用水量不超过4.5吨时，水费按0.64元／吨计算．超过部分每吨以5倍价格收费．试建立每月用水费用与用水数量之间的函数关系．并计算用水量分别为3.5吨、4.5吨、5.5吨的

6、用水费用．解：依题意有，所以．习题1-21．设，（1）求的值；（2）求，使当时，不等式成立；（3）求，使当时，不等式成立．解：(1)．（2）要使即，则只要取N＝故当n>1110时，不等式成立．（3）要使成立，取，那么当时，成立.2．根据数列极限的定义证明：（1）；　　　　　　（2）．26第一章函数与极限习题详解解：（1），要使，只要取，所以，对任意，存在，当时，总有，则.(2),要使,即,只要取,所以,对任意的>0,存在,当,总有,则.3．若证明．并举例说明：如果数列有极限，但数列未必有极限．证明:因为

7、,所以,,当时,有.不妨假设a>0,由收敛数列的保号性可知:,当时,有,取,则对,,当时,有.故.同理可证时,成立.反之,如果数列有极限,但数列未必有极限.如：数列,，显然,但不存在．4．设数列有界，又．证明：．证明:依题意,存在M>0,对一切n都有，又,对,存在,当时,,因为对上述,当时,,由的任意性,则．5．设数列的一般项，求．解:因为,,所以.6．对于数列，若，，证明：．证明:由于,所以,,,当时，有,同理,,,当时,有．取=max,,当时,成立,故．习题1-31．当时，．问等于多少，使当时，？解

8、：令，则，要使，只要，所以取，使当时，成立．2．当时，．问等于多少，使当时，？解：要使<0.001,只要,即26第一章函数与极限习题详解.因此,只要就可以了,所以取．3．根据函数极限的定义证明：（1）；　　　　　（2）；（3）；　　　　（4）.证明:(1)由于,任给,要使,只要．因此取,则当时,总有,故．(2)由于,任给,要使,只要,即或,因为,所以,取，则当时,对,总有,故有．(3)由于,任给,,要使,只要,因此取,则当时,总有,故.(4