第一篇 集合与常用逻辑用语：第1讲 集合的概念与运算

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1、第1讲　集合的概念与运算1．考查集合中元素的互异性．2．求几个集合的交、并、补集．3．通过给的新材料考查阅读理解能力和创新解题的能力．【复习指导】1．主要掌握集合的含义、集合间的关系、集合的基本运算，立足基础，抓好双基．2．练习题的难度多数控制在低中档即可，适当增加一些情境新颖的实际应用问题或新定义题目，但数量不宜过多．　　基础梳理1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法、区间法．

2、(4)常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.(5)集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．2．集合间的基本关系(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则AB(或BA)．(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅B(B≠∅)．(4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有2n－1个．(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.3．集合

3、的基本运算(1)并集：A∪B＝{x

4、x∈A，或x∈B}．(2)交集：A∩B＝{x

5、x∈A，且x∈B}．(3)补集：∁UA＝{x

6、x∈U，且x∉A}．(4)集合的运算性质①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B；②A∩A＝A，A∩∅＝∅；③A∪A＝A，A∪∅＝A；④A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A.一个性质要注意应用A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁UA⊇∁UB、A∩(∁UB)＝∅这五个关系式的等价性．两种方法韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特

7、别注意端点是实心还是空心．三个防范(1)空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．(2)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)．(3)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．双基自测1．(人教A版教材习题改编)设集合A＝{x

8、2≤x＜4}，B＝{x

9、3x－7≥8－2x}，则A∪B等于(　　)．A．{x

10、3≤x＜4}B．{x

11、x≥3}C．{x

12、x＞2}D．{x

13、x≥2}解析　B＝{x

14、

15、3x－7≥8－2x}＝{x

16、x≥3}，∴结合数轴得：A∪B＝{x

17、x≥2}．答案　D2．(2011·浙江)若P＝{x

18、x＜1}，Q＝{x

19、x＞－1}，则(　　)．A．P⊆QB．Q⊆PC．∁RP⊆QD．Q⊆∁RP解析　∵∁RP＝{x

20、x≥1}∴∁RP⊆Q.答案　C3．(2011·福建)i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则(　　)．A．i∈SB．i2∈SC．i3∈SD.∈S解析　∵i2＝－1，∴－1∈S，故选B.答案　B4．(2011·北京)已知集合P＝{x

21、x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a

22、的取值范围是(　　)．A．(－∞，－1]B.[1，＋∞)C．[－1,1]D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析　因为P∪M＝P，所以M⊆P，即a∈P，得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1,1]．答案　C5．(人教A版教材习题改编)已知集合A＝{1,3，m}，B＝{3,4}，A∪B＝{1,2,3,4}，则m＝________.解析　A∪B＝{1,3，m}∪{3,4}＝{1,2,3,4}，∴2∈{1,3，m}，∴m＝2.答案　2　　考向一　集合的概念【例1】►已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}

23、，若3∈A，则m的值为________．[审题视点]分m＋2＝3或2m2＋m＝3两种情况讨论．解析　因为3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3.当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，此时集合A中有重复元素3，所以m＝1不合乎题意，舍去；当2m2＋m＝3时，解得m＝－或m＝1(舍去)，此时当m＝－时，m＋2＝≠3合乎题意．所以m＝－.答案　－集合中元素的互异性，一可以作为解题的依据和突破口；二可以检验所求结果是否正确．【训练1】设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋2}，A∩B＝{3}，则实数

24、a的值为________．解析　若a＋2＝3，a＝1，检验此时A＝{－1,1,3}，B＝{3,5}，A∩B＝{3}，满足题意．若a2＋2＝3，则a＝±1.当a＝－1时，B＝{1,3}此时A∩B＝{1,3}不合题意，故a＝1.答案　1考向二　集合的基本运算【例2】►(2011·天津)已知集合A＝{x∈R

25、

26、x＋3

27、＋

28、x－4

29、≤9}，B＝，则集合A∩B＝________.[审题视点]先化简集合A，B，再求A∩B.解析　不等式

30、x