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1、第四讲函数的概念与表示一．知识归纳：1．映射（1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。（2）象与原象：如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么集合A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象。注意：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。2．函数（1）函数的定义①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x
2、在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫作自变量。②近代定义：设A、B都是非空的数的集合，f：x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中x∈A,y∈B，原象集合A叫做函数的定义域，象集合C叫做函数的值域。注意：①CB;②A,B,C均非空（2）构成函数概念的三要素：①定义域②对应法则③值域3．函数的表示方法：①解析法②列表法③图象法注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。二．例题讲解：【例1】下列各组函数中，表示相同
3、函数的是（）(A)f(x)=lnx2,g(x)=2lnx(B)f(x)=(a>0且a≠1),g(x)=x(C)f(x)=,g(x)=1−
4、x
5、(x∈[−1,1])(D)f(x)=(a>0且a≠1),g(x)=解答：选D点评：判断两个函数是否相同主要是从定义域、对应法则两个方面加以分析。变式：下列各对函数中，相同的是（D）(A)f(x)=,g(x)=x(B)f(x)=lgx2,g(x)=2lgx(C)f(x)=,g(x)=lg(x-1)-lg(x+1)(D)f(x)=,g(x)=【例2】（1）集合A={3,4}
6、,B={5,6,7}，那么可以建立从A到B的映射的个数是；从B到A的映射的个数是。（2）设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n，则在映射f下，像20的原象是。6解答：（1）从A到B可分两步进行，第一步A中的元素3可有3种对应方法（5或6或7），第二步A中的元素4也有3种对应方法，故不同的映射个数有3×3=9个；反之从B到A，道理相同，有2×2×2=8个。（2）原象是4。点评：计算映射的个数问题一定要先搞清每个元素可对应的方法数，分步进行。变式1：已知集合M=
7、{1,2,3,m},N={4,7,n4,n2+3n},m,n∈N*,映射f：x→y=3x+1,是从M到N的一个函数，则m,n的值分别为（B）（A）2，5（B）5，2（C）3，6（D）6，3变式2：已知函数y=f(x),(x∈[a,b]),那么集合{(x,y)
8、y=f(x),x∈[a,b]}∩{(x,y)
9、x=2}中所含元素的个数是（）(A)1(B)0(C)0或1(D)1或2分析：本题首先要理解两个集合的意义，这里实际上是函数y=f(x),(x∈[a,b])的图象与直线x=2的交点的个数，显然当2∈[a,b]时
10、由函数定义交点个数为1，当2[a,b]时由函数定义交点个数为0。故选C。点评：函数的三要素中定义域和对应法则决定值域，对应法则是核心，它必须符合“任一”、“唯一”的要求。【例3】已知f(x)=2x-1,g(x)=,求f[g(x)],g[f(x)]解答：f[g(x)]=，g[f(x)]=点评：了解函数符号的意义，理解相互之间的关系；若函数f(x)的定义域为A，则当f[g(x)]中的g(x)∈A时，f[g(x)]才有意义，因而求f[g(x)]时，必须考虑g(x)∈A。变式：已知f(x)=，求f(x+1).解答：f
11、(x+1)=【例4】(1)已知函数f(1-cosx)=sin2x，求f(x);(2)已知3f(x)+5f()=2x+1，求f(x)解答：(1)令1-cosx=t(0≤t≤2),则cosx=1-t,∴f(1-cosx)=f(t)=sin2x=1-cos2x=1-(1-t)2=-t2+2t,故f(x)=-x2+2x(0≤x≤2)6（2）由3f(x)+5f()=2x+1得3f()+5f(x)=+1，联立解得点评：函数f(x)的含义抽象，在函数的定义域与对应法则f不变的条件下，可以变换自变量字母，以至变换为其它字母的
12、代数式。例如，f(x)=x2+1与f(u+1)=(u+1)2+1应视为同一函数。变式：设f(x)是定义在R上的函数，对一切x∈R均有f(x)+f(x+2)=0，当-1
