第9课等比数列的概念和通项公式

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1、第9课时等比数列的概念和通项公式【学习导航】知识网络学习要求1.体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念，2.类比等差数列的通项公式,探索发现等比数列的通项公式,掌握求等比数列通项公式的方法,3.掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决一些简单的实际问题.【自学评价】1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0）注:1°“从第二项起”与“前一项”之比为常数q｛｝成等比数列=q（,q≠0）2°隐含：任一项3°q=1时，{an

2、}为常数列.2.等比数列的通项公式①②3．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．4.等比中项的定义：如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.且5．证明数列为等比数列：①定义：证明=常数，②中项性质：；【精典范例】【例1】判断下列数列是否为等比数列：（１）１，１，１，１，１；（２）０，１，２，４，８；（３）1，，，，.【解】听课随笔（１）所给数列是首项为１，公比为１的等比数列．（２）因为０不能作除数，所以这个数列不是等比数列．（３）所给数列是首项为１，公比为的等比数列．【例2】求出下列等比数列中的未知项：（１）２，ａ，８；（２）－４，ｂ，ｃ，．【解】（１）根据题意，得所以ａ＝４

3、或ａ＝－４．（２）根据题意，得解得所以ｂ＝２，ｃ＝－１．【例3】在等比数列{an}中，（１）已知ａ１＝３，ｑ＝－２，求ａ６；（２）已知ａ３＝20，ａ６＝160，求ａｎ．【解】（１）由等比数列的通项公式，得（２）设等比数列的公比为ｑ，那么所以【例4】在243和３中间插入３个数，使这５个数成等比数列．【解】设插入的三个数为，，，由题意知243，，，，3成等比数列．设公比为ｑ，则因此，所求三个数为８１，２７，９，或－８１，２７，－９．追踪训练一1.求下列等比数列的公比、第５项和第ｎ项：（1）２，６，１８，５４，…；　（2）7，，，（3）0.3，－0.09，0.027，－0.0081，…；（4）5，

4、　，，.【答案】(1)(2)(3)(4)2.数列m,m,m,…m,(C)A.一定是等比数列B.既是等差数列又是等比数列C.一定是等差数列不一定是等比数列D.既不是等差数列，又不是等比数列3.已知数列{an}是公比q≠±1的等比数列，则在{an+an+1},{an+1－an}，{}{nan}这四个数列中，是等比数列的有(C)A.1个B.2个C.3个D.4个【选修延伸】【例5】成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数.【解】设这三个数分别为解得这三个数为【师生互动】学生质疑教师释疑故由题意又可得解得这三个数为3，5，7【例6】已知数列｛an｝满足

5、：lgan＝3n＋5，试用定义证明｛an｝是等比数列.听课随笔【证明】由lgan＝3n＋5，得an＝103n+5＝1000∴数列｛an｝是公比为1000的等比数列.【点评】若｛an｝是等差数列，bn＝ban可以证明数列｛bn｝为等比数列，反之若｛an｝为等比数列且an＞0，则可证明｛lgan｝为等差数列.追踪训练二1．在等比数列｛an｝中，a3·a4·a5＝3，a6·a7·a8＝24，则a9·a10·a11的值等于(D)A.48B.72C.144D.1922．在等比数列中，已知首项为，末项为,公比为，则项数n等于___4___.3．已知等比数列{an}的公比q=－,则=___－3___.4．

6、已知数列｛an｝为等比数列，(1)若an＞0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5.(2)a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an.【解】(1)由已知an＞0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25知a12q4＋2a12q6＋a12q8＝25即a12q4(1＋q2)2＝25∴a1q2(1＋q2)＝5因此a3＋a5＝a1q2＋a1q4＝a1q2(1＋q2)＝5(2)由已知a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8知①②①÷②得即2q2－5q＋2＝0解得q＝2或q＝当q＝2时，a1＝1∴an＝2n－1当q＝时，a1＝4∴an＝23－n