中考数学复习专题精品导学案：第8讲一元二次方程及应用

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1、2013年中考数学专题复习第八讲：一元二次方程及应用【基础知识回顾】一、一元二次方程的定义：1、一元二次方程：含有个未知数，并且未知数最方程2、一元二次方程的一般形式：其中二次项是一次项是，是常数项【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠o这一条件2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正】二、一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：如果aX2=b则X2=X1=X2=2、配方法：解法步骤：1、化二次项系数为即方程两边都二次项系数2、移项：把项移到方程的边3、配方：方程两边都加上把左边配成完全平方的形式4、解方程：若方程

2、右边是非负数，则可用直接开平方法解方程3、公式法：如果方程aX2+bx+c=0(a±0)满足b2-4ac≥0，则方程的求根公式为4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式式，如果左边分解因式，即产生A.B=0的形式，则可将原方程化为两个方程，即从而方程的两根【名师提醒：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是法和法】三、一元二次方程根的判别式关于X的一元二次方程aX2+bx+c=0(a±0)根的情况由决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号表示方程有两个实数跟，则①当时，方程有两个不等的实数根②当时，方程看两个相等的实数根③当时，方程没有实数根

3、【名师提醒：在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数】一、一元二次方程根与系数的关系：关于X的一元二次方程aX2+bx+c=0(a±0)有两个根分别为X1X2则X1+X2=X2=二、一元二次方程的应用：解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行常见题型1、增长率问题：连续两率增长或降低的百分数Xa（1+X）2=b1、利润问题：总利润=X或利润—2、几个图形的面积、体积问题：按面积的计算公式列方程【名师提醒：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐

4、含的条件】【重点考点例析】考点一：一元二次方程的有关概念（意义、一般形式、根的概念等）例1（2012•兰州）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　）A．x2+=0B．ax2+bx+c=0C．（x-1）（x+2）=1D．3x2-2xy-5y2=0思路分析：一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．解：A、原方程为分式方程；故本选项错误；B、当a=0时，即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时，该方程就不是一元二次方程；故本选项错误；C

5、、由原方程，得x2+x-3=0，符合一元二次方程的要求；故本选项正确；D、方程3x2-2xy-5y2=0中含有两个未知数；故本选项错误．故选C．点评：本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．对应训练1．（2012•惠山区）一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-1=0的一个根为0，则a=．1．1解：∵一元二次方程（a+1）x2-ax+a2-1=0的一个根为0，∴a+1≠0且a2-1=0，∴a=1．故答案为1．点评：本题考查了一元二次方程的定义：含一个未知数，并且未知数的最

6、高次数为2的整式方程叫一元二次方程，其一般式为ax2+bx+c=0（a≠0）．也考查了一元二次方程的解的定义．考点二：一元二次方程的解法例2（2012•安徽）解方程：x2-2x=2x+1．思路分析：先移项，把2x移到等号的左边，再合并同类项，最后配方，方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．解：∵x2-2x=2x+1，∴x2-4x=1，∴x2-4x+4=1+4，（x-2）2=5，∴x-2=±，∴x1=2+，x2=2-．点评：此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2

7、）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．例3（2012•黔西南州）三角形的两边长分别为2和6，第三边是方程x2-10x+21=0的解，则第三边的长为（　　）A．7B．3C．7或3D．无法确定思路分析：将已知的方程x2-10x+21=0左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解为3或7，利用三角形的两边之和大于第三边进行判断，得到满足