数学史概论近代数学的兴起

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1、第五讲近代数学的兴起------------文艺复兴时期的数学(15－17世纪初)5.1中世纪的欧洲5.2向近代数学的过度5.3解析几何的诞生5.2.1代数学5.2.2三角学5.2.3从透视学到摄影学5.2.4计算技术与对数5.1中世纪的欧洲-欧洲中世纪的回顾公元5-11世纪，是欧洲历史上的黑暗时期直到12世纪，同于受翻译、传播阿拉伯著作和希腊著作的刺激，欧洲数学与开始出现复苏迹象。可以说，12世纪是欧洲数学的翻译时代欧洲黑暗时期过后，第一位有影响力的数学家是斐波那契斐波那契(L.Fibonacci,1170-1250):<算经

2、>(1202《算盘书》)《算盘书》主要内容：整数和分数算法；开方法；二次和三次方程以及不定方程；系统介绍印度-阿拉伯数码；《算盘书》可以看作是欧洲数学在经历了漫长的黑夜之后走向复苏的号角。一、文艺复兴（14-16世纪）文艺复兴运动：13世纪末，在意大利各城市兴起，以后扩展到西欧各国，于16世纪在欧州盛行的思想文化运动。是科学与艺术的革命时期文艺复兴时期在各领域取得很大成就，数学成就只不过是其中之一5.2向近代数学的过度---希望的曙光-欧州文艺复兴时期的数学代数学三角学从透视学到射影几何计算技术与对数5.2.1代数学欧洲人在数学上

3、的推进是从代数学开始的，它是文艺复兴时期成果最突出、影响最深远的领域，拉开了近代数学的序幕。主要包括三、四次方程求解与符号代数的引入这两个方面。1.三、四次方程根式求解的成功第一个突破：约1515年费罗发现形如：x3+mx=n(m,n>0)，代数方程的解法并将解法秘密传给自己的学生费奥1535年，意大利另一位数学家塔塔利亚，也宣称自己能解形如：x3+mx2=n(m,n>0)的三次方程。费奥向塔塔利亚挑战，要求各自解出对方提出的30个三次方程。结果是，塔塔利亚很快解出形如:x3+mx2=n和x3+mx=n(m,n>0)两类型所有方程

4、，而费奥只能解出后一类方程后来，塔塔利亚把解法传给了卡尔丹塔塔利亚（niccolofontana,1499?~1557，绰号tartaglia意为口吃着）卡尔丹（1501-1576）医生、数学家、预言家。《大法》—公布了三次方程的解法。《大法》（ArsMagna）（p,q>0）实质是考虑恒等式若选取a,b,使：3ab=p,a3-b3=q,不难解得a,bp,q>02.四次方程求解费拉里（1522-1565），卡尔丹的学生，获得解一般四次方程的解法。x4+ax3+bx2+cx+d=0基本思想是通过配方、因式分解后降次关于四次方程的解法

5、，以后韦达和笛卡尔都作过研究，并取得成果，由此引发探求五次方程根式解的尝试，经拉格朗日、阿贝尔、伽罗瓦的努力，阿贝尔首先证明了一般的五次及以上方程无根式解，伽罗瓦在此基础上创造了群论，将代数研究推向纵深。3.代数符号体系与代数运算韦达(F.Vieta):<分析引论>(1591)近现代数学一个最为明显、突出的标志，就是普遍地使用了数学符号，它体现了数学学科的高度抽象与简练。文艺复兴时期代数学的另一重大进展，便是系统地引入符号代数。韦达是第一个有意识地、系统地使用字母。他的符号体系的引入导致代数性质上产生最重大变革韦达（1540-16

6、03），法国数学家，（原是律师与政治家，业余时间研究数学。）创立符号代数；发现根与系数的关系。16世纪最大的数学家代数学之父：1591年《分析引论》5.2.2三角学(从球面三角到平面三角）航海、历法推算以及天文观测的需要，推动了三角学的发展。早期三角学总是与天文学密不可分，这样在1450年以前，三角学主要是球面三角。后来由于间接测量、测绘工作的需要而出现了平面三角三角学,起源于古希腊。为了预报天体运行路线、计算日历、航海等需要，古希腊人已研究球面三角形的边角关系，掌握了球面三角形两边之和大于第三边，球面三角形内角之和大于两个直角，

7、等边对等角等定理。印度人和阿拉伯人对三角学也有研究和推进，但主要是应用在天文学方面。15、16世纪三角学的研究转入平面三角，以达到测量上的应用目的。在欧洲，最早将三角学从天文学独立出来的数学家是德国人雷格蒙塔努斯（J.Regionomtanus,1436-1476）。雷格蒙塔努斯的主要著作是１４６４年完成的《论各种三角形》。这是欧洲第一部独立于天文学的三角学著作。全书共５卷，前２卷论述平面三角学，后３卷讨论球面三角学，是欧洲传播三角学的源泉。雷格蒙塔努斯还较早地制成了一些三角函数表。三角学的进一步发展，是法国数学家韦达所做的平面三

8、角与球面三角系统化工作。他在《标准数学》（1579）和《斜截面》（1615）二书中，把解平面直角三角形和斜三角形的公式汇集在一起，其中包括自己得到的正切公式：三角学在今天的应用三角测量：在导航，测量及土木工程中精确测量距离和角度的技术，主要用于为船