北航 高数课件 12章

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1、第十二章微分方程第一节微分方程的基本概念一、问题的提出二、微分方程的定义三、微分方程的解重点：微分方程基本概念解例1一、问题的提出解例2代入条件后知故开始制动到列车完全停住共需微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.二、微分方程的定义分类1:常微分方程,偏微分方程.微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.一阶微分方程高阶(n)微分方程分类2:分类3:线性与非线性微分方程.分类4:单个微分方程与微分方程组.微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数被称为微分方程的解.三、主要问题--

2、--求解方程(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.解的图象:微分方程的积分曲线.通解的图象:积分曲线族.初始条件:用来确定任意常数的条件.微分方程的解的分类：(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题（或柯西问题）:求微分方程满足初始条件的解的问题.解例3所求特解为微分方程;微分方程的阶;微分方程的解;通解;初始条件;特解;初值问题;积分曲线;四、小结回忆基本概念：思考题是微分方程的特解.思考题解答中不含任意常数,故为微分方程的特解.第二节可分离变量方程与齐次方程一、可分

3、离变量方程二、齐次方程重点：分离变量法难点：灵活运用分离变量法一、可分离变量方程可分离变量的微分方程：解法为微分方程的解.分离变量法例1求解微分方程解分离变量两端积分注：任意常数的处理。通解为解注：灵活应用变量替换例2解衰变规律即通解为解为简便见，以后不讨论这种特殊解.思考题求解微分方程思考题解答为所求解.二、齐次方程的微分方程称为齐次方程.2.解法作变量代换代入原式得可分离变量的方程1.定义(一)齐次方程例5求解微分方程微分方程的解为解此题也可先将方程两端同时除以x得一标准齐次方程，然后求解。例6求微分方程满足初始条件得解：解则微分方程的通解为由光的反射定律:可得OMA=OAM=例7.

4、探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面,它的形状由解:将光源所在点取作坐标原点,并设入射角=反射角能的要求,在其旋转轴(x轴)上一点O处发出的一切光线，从而AO=OMxOy坐标面上的一条曲线L绕x轴旋转而成,按聚光性而AO于是得微分方程:经它反射后都与旋转轴平行.求曲线L的方程.积分得故有得(抛物线)故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)(二)可化为齐次的方程为齐次方程.（其中h和k是待定的常数）否则为非齐次方程.2.解法1.定义有唯一一组解.得通解代回解代入原方程得例8分离变量法得得原方程的通解方程变为上述方法不能用.可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程.可分离变量.利用变量代换求微

5、分方程的解解代入原方程原方程的通解为(一)变量分离方程1.分离变量;2.两端积分-------隐式通解.三、小结为微分方程的隐式解，又含任意常数，故为通解，综合为隐式通解。说明：(二)齐次方程形式解法可化为齐次方程的方程习题12.11（3）（4）2（2）（4）习题12.21（2）（3）（4）2（1）3（2）利用变量代换求微分方程的解解代入原方程原方程的通解为例9思考题方程是否为齐次方程?思考题解答方程两边同时对x求导:原方程是齐次方程.例4有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心

6、间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得,水从孔口流出的流量为流量系数孔口截面面积重力加速度设在微小的时间间隔水面的高度由h降至,比较(1)和(2)得:即为未知函数的微分方程.可分离变量所求规律为