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《数列极限与数学归纳法_教师》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、数列的极限1、数列极限的运算性质如果=A，=B，那么(1)==AB；(2)=•=A•B；(3)==(B≠0，bn≠0)2、几个常用数列极限(1)(C为常数)；(2)=0；(3)=0(＜1)(4)=e3、数列极限运算的几种基本类型：(1)关于n的分式型(2)关于n的指数型(3)无穷多项的和与积(4)无穷递缩等比数列例1．求下列数列的极限：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(a,b>0)分析：求数列的极限首先应判断属于哪一种基本类型，然后考虑如何转化哪一种基本数列的极限解决问题。解:(1)(2)=.(3)===(4)==或另解：原式=
2、(5)分析：应能够很快地由数列的通项可识别出此数列为公比为(-)的无穷递缩等比数列。。(6)====注：数列{}不存在极限，不能直接用运算法则，因此变形后化为基本数列的极限解决。(7)==①当0
3、a
4、<3时，=.②当
5、a
6、>3时，=.③当a=3时，=。④当a=-3时，=（极限不存在）。∴综①-④，(8)===(9)①a>b>0时，=。②当b>a>0时，=。③当b=a>0时，=。综上：=小结：求数列的极限难点问题有几类，无穷多项的和与积；如上例中第(3),(4),(5),(7),(8)，不能直接用极限的运算法则，先要将所给形式变形，化简，如(3)
7、是约分化简，(4)是转化为两个等比数列的和，(5)的关键是能够判断其为无穷递缩等比数列，(7)则是光用等比数列求和公式化简，(8)却应用的是特殊数列求和的基本方法——裂项求和达到化简的目的。关于n的指数型数列的极限，若含有参数的幂的形式（关于n的），则需要讨论，以确保符合条件0<
8、q
9、<1，才可应用来解决问题。例2.(1)已知求a,b.(2)已知,,求：。(3)已知：,求a.解：(1)∵即有：，，则有(2)∵,∴,∴.....①又,∴,∴.......②又=,由①，②得，∴=6。(3)∵,∴当
10、a2
11、>4时，=不存在，当0<
12、a2
13、<4时，=
14、，当a2=4时，=，∴有：a2=4,即a=±2.小结：本例中几问共同特点是已知数列的极限，反过来求式子中待定的系数。解决的方法仍是化归为求数列的极限问题。如(1)中，已知一个关于n的分式型的极限，实际上考察了对关于n的分式型极限求法的掌握情况。应使学生明确形如：的极限问题关键看分子，分母中关于n的项的最高次项的系数，如果不能确定其系数时，即需要讨论。例3．(1)在等比数列{an}中，a1>1，且前n项和Sn满足，求a1的取值范围。(2)数列{an},{bn}均是公差不为0的等差数列，且，求。解：(1)∵{an}为等比数列，又a1>1,且,因此{an}
15、为无穷递缩等比数列，设{an}公比为q.∴,∴1-q=a12,∵0<
16、q
17、<1,∴0<
18、1-a12
19、<1,解得：a∈.(2)设{an}公差为d,{bn}公差为d',∴,∵,na2n=n[a1+(2n-1)d],∴.小结：数列的极限与等差，等比数列的知识的结合是经常考察的问题，尤其要注意对于无穷递缩等比数列的识别，及求和公式的正确运用。例4．已知数列{an}前n项和为Sn,此无穷数列对于不小于2的正整数n,满足1-Sn=an-1-an.(1)求a1,a2,a3.(2)证明{an}为等比数列。(3)设，求(b1+b2+……+bn)的值。解：(1)∵S2=
20、a1+a2,∴1-(a1+a2)=a1-a2,解得:,∵S3=a1+a2+a3,同理解得：,.(2)<方法1>,由a1,a2,a3推测(n∈N).用数学归纳法证明①当n=1时，上式成立②假设当n=k(k≥1,k∈N)时，成立。欲证当n=k+1时，成立，∵1-Sk+1=ak-ak+1,∴1-(Sk+ak+1)=ak-ak+1,∴1-Sk=ak...(I)同理，1-Sk+1=ak+1...(II)(II)-(I)得：1-Sk+1-(1-Sk)=ak+1-ak-ak+1=ak+1-ak,∴2ak+1=ak,∴,∴n=k+1时，命题也成立。由①②对于n∈N,
21、均成立。<方法2>当n≥2时，1-Sn=an-1-an..①1-Sn+1=an-an+1...②①-②得：Sn+1-Sn=an-1-2an+an+1,∴an+1=an-1-2an+an+1,∴,即，∴{an}为等比数列。(3)∵∴(b1+b2+b3+……+bn)==.小结：数列，极限，数学归纳法常常将几个知识点综合起来考察，因此需要清理解决问题的方法及知识体系，这是提高能力的关键。5.已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠-1)，前n项和为Sn,求[解]当q=1时，，。当时，∴当，时，当时，综上所述，6.已知数列前n项和。⑴用n、k写出的表
22、达式；⑵若，求k的取值范围。7.已知数列、都是等差数列，，是，的等差中项，。求的值。8.已知是首项为1，公差
