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《数列极限与数学归纳法_教师》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、数列的极限1、数列极限的运算性质如果=A,=B,那么(1)==AB;(2)=•=A•B;(3)==(B≠0,bn≠0)2、几个常用数列极限(1)(C为常数);(2)=0;(3)=0(<1)(4)=e3、数列极限运算的几种基本类型:(1)关于n的分式型(2)关于n的指数型(3)无穷多项的和与积(4)无穷递缩等比数列例1.求下列数列的极限:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(a,b>0)分析:求数列的极限首先应判断属于哪一种基本类型,然后考虑如何转化哪一种基本数列的极限解决问题。解:(1)(2)=.(3)===(4)==或另解:原式=
2、(5)分析:应能够很快地由数列的通项可识别出此数列为公比为(-)的无穷递缩等比数列。。(6)====注:数列{}不存在极限,不能直接用运算法则,因此变形后化为基本数列的极限解决。(7)==①当0
3、a
4、<3时,=.②当
5、a
6、>3时,=.③当a=3时,=。④当a=-3时,=(极限不存在)。∴综①-④,(8)===(9)①a>b>0时,=。②当b>a>0时,=。③当b=a>0时,=。综上:=小结:求数列的极限难点问题有几类,无穷多项的和与积;如上例中第(3),(4),(5),(7),(8),不能直接用极限的运算法则,先要将所给形式变形,化简,如(3)
7、是约分化简,(4)是转化为两个等比数列的和,(5)的关键是能够判断其为无穷递缩等比数列,(7)则是光用等比数列求和公式化简,(8)却应用的是特殊数列求和的基本方法——裂项求和达到化简的目的。关于n的指数型数列的极限,若含有参数的幂的形式(关于n的),则需要讨论,以确保符合条件0<
8、q
9、<1,才可应用来解决问题。例2.(1)已知求a,b.(2)已知,,求:。(3)已知:,求a.解:(1)∵即有:,,则有(2)∵,∴,∴.....①又,∴,∴.......②又=,由①,②得,∴=6。(3)∵,∴当
10、a2
11、>4时,=不存在,当0<
12、a2
13、<4时,=
14、,当a2=4时,=,∴有:a2=4,即a=±2.小结:本例中几问共同特点是已知数列的极限,反过来求式子中待定的系数。解决的方法仍是化归为求数列的极限问题。如(1)中,已知一个关于n的分式型的极限,实际上考察了对关于n的分式型极限求法的掌握情况。应使学生明确形如:的极限问题关键看分子,分母中关于n的项的最高次项的系数,如果不能确定其系数时,即需要讨论。例3.(1)在等比数列{an}中,a1>1,且前n项和Sn满足,求a1的取值范围。(2)数列{an},{bn}均是公差不为0的等差数列,且,求。解:(1)∵{an}为等比数列,又a1>1,且,因此{an}
15、为无穷递缩等比数列,设{an}公比为q.∴,∴1-q=a12,∵0<
16、q
17、<1,∴0<
18、1-a12
19、<1,解得:a∈.(2)设{an}公差为d,{bn}公差为d',∴,∵,na2n=n[a1+(2n-1)d],∴.小结:数列的极限与等差,等比数列的知识的结合是经常考察的问题,尤其要注意对于无穷递缩等比数列的识别,及求和公式的正确运用。例4.已知数列{an}前n项和为Sn,此无穷数列对于不小于2的正整数n,满足1-Sn=an-1-an.(1)求a1,a2,a3.(2)证明{an}为等比数列。(3)设,求(b1+b2+……+bn)的值。解:(1)∵S2=
20、a1+a2,∴1-(a1+a2)=a1-a2,解得:,∵S3=a1+a2+a3,同理解得:,.(2)<方法1>,由a1,a2,a3推测(n∈N).用数学归纳法证明①当n=1时,上式成立②假设当n=k(k≥1,k∈N)时,成立。欲证当n=k+1时,成立,∵1-Sk+1=ak-ak+1,∴1-(Sk+ak+1)=ak-ak+1,∴1-Sk=ak...(I)同理,1-Sk+1=ak+1...(II)(II)-(I)得:1-Sk+1-(1-Sk)=ak+1-ak-ak+1=ak+1-ak,∴2ak+1=ak,∴,∴n=k+1时,命题也成立。由①②对于n∈N,
21、均成立。<方法2>当n≥2时,1-Sn=an-1-an..①1-Sn+1=an-an+1...②①-②得:Sn+1-Sn=an-1-2an+an+1,∴an+1=an-1-2an+an+1,∴,即,∴{an}为等比数列。(3)∵∴(b1+b2+b3+……+bn)==.小结:数列,极限,数学归纳法常常将几个知识点综合起来考察,因此需要清理解决问题的方法及知识体系,这是提高能力的关键。5.已知等比数列{an}的首项为a1,公比为q(q≠-1),前n项和为Sn,求[解]当q=1时,,。当时,∴当,时,当时,综上所述,6.已知数列前n项和。⑴用n、k写出的表
22、达式;⑵若,求k的取值范围。7.已知数列、都是等差数列,,是,的等差中项,。求的值。8.已知是首项为1,公差