数列极限与数学归纳法

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1、第三章数列、极限与数学归纳法课标与考试基本解题方法点拨1.基本量法：在等差（等比）数列中，经常涉及到的有5个量，其中最重要也是最基本的量是首项和公差（或公比），这两个量是等差（等比）数列定义的出发点，而且有了这两个量，数列中的其它量也可以随之确定，称之为基本量法.适用情境：求解一般的等差，等比数列问题，可利用相关公式，求出该数列中的基本量，从而解决要求的其它量，只是需要因题制宜，有些时候只需设而不求.常见题型与解法：知三求二法：在围绕着数列五个量的基本公式中，一般的公式中都含有四个量，那么知道其中的三个量，利用公式，通过求代数式的值或解方程（组）总可以求出其他两个量.课本中的等差等比通项

2、与求和公式在运用时，特别要注意等比求和时，与的两种情况.除此还有一些推广的性质，在等差数列中有，，若，则，成公差为的等差数列；在等比数列中，若，则，成公比为的等比数列.2.递推法：已知数列的任意一项，通过给定的规律求出紧接着后面的一项称为递推，利用递推式求数列的通项或前项之和的方法叫做递推法.适用情境：一个数列的递推式是这个数列定义的一种表现形式，由于初始条件和递推规律反映了数列的全部情况，所以可由这种递推关系转化成数列的通项关系（这里一般指不是等差等比数列的递推关系）常见题型与解法：（1）与的互化，根据数列的前项和可求得通项（2）形如，可设常数，将其转化为，其中的值可待定系数确定.（3

3、）形如可利用递推关系连续写出个关系式，然后将左右分别相加，可求出的通项公式.（4）形如可利用递推关系连续写出个关系式，然后将左右分别相乘，可求出的通项公式.（5）类比推理法，当是等差数列是等比数列；是正项等比数列是等差数列.3.特殊数列求和法：当遇到一些特殊数列，可用一些较为特定的方法将之求和.适用情境：除了等差、等比数列，某些数列具备一定的特征，我们可以利用这些特征将之转化后利用等差，等比的求和方法求出该数列的和.常见题型与解法：（1）公式法：直接转化为基本数列（等差或等比数列）求和.（2）倒序相加法：对于一个有限项数列，若具备“凡是与首末两项等距离的任意两项之和总等于同一常数”的特点

4、，则可将此数列的前项进行倒序表述，并与前者对应相加，通过对称性以达到求和.（3）裂项求和法：将数列中的每一项拆成两项，在求和时，除首项和末项之外，中间的项相互抵消，从而达到求和目的的方法称为裂项法.（4）错位相减法：如果数列是等差数列，数列是等比数列，公比为，那么的前项和的求法，可分别求出和的表达式，特别注意与的同次指数项对齐（错位对齐），等式两边均对应项相减，化简并将左边系数化为1，即得.（5）分组求和法：把数列依某种特征分成若干个易求和的组，或把通项拆成若干项，再对每项产生的数列分别求和.4.函数法：用函数的性质解决有关数列的问题.适用情境：由于数列可以看作以正整数集（或它的有限子集

5、）为定义域的函数，因此可以通过研究函数的图象和性质（如函数的单调性，最值等）来解决数列问题.常见题型与解法：（1）单调性法：考察数列的单调性，即可判断相邻两项差：的符号或直接利用数列所对应函数的单调性，考察的最大、小项等.（2）极值点，零点法：设为数列的最大项，则，但此公式仅为为最大项的必要条件，且不为最大项时适用，设为等差数列前项和的最大值5.归纳、猜想、证明：进行数学探究过程中经常使用的一种方法.适用情境：从特殊或部分事实归纳出一般性的结论作为猜想，然后用严密的推理方式进行证明，在证明中涉及与自然数有关的数学命题多用数学归纳法.常见题型与解法：归纳是基础，猜想是关键，数归法的步骤是：

6、（1）证明当取时结论成立；（2）假设当时结论正确，证明当时，结论也正确，综上当时结论成立。6.化归重要极限：利用几个重要的极限进行运算.适用情境：在n无限增大的变化过程中，若数列中的项无限趋近于一个常数，则此类问题.就可以用数列极限的思想来解决.常见题型与解法：1）四个基本的重要数列极限：（1）；；；（4）.2）多项式分式型的极限计算，先将分子与分母都除以转化为自然数倒数数列与常数数列极限的计算；型的极限计算，先将算式转化为型，再设法求解.原题与点评试题1[2006理（4）]计算：＝.[命题立意]本题考查数列极限的计算[思路分析]将分子展开后，即可观察到分子为最高次为3次，其系数为的多项

7、n，及利用数列极限中多项式形式，由其最高次项系数之比，即得.[试题解析].[试题点评]本题文理科生得分率分别为0.93，0.82；区分度分别为0.52，0.39，本题考查目标属双基要求，很多数学生掌握较好，可能题目中存在数列极限的运算中混搭了组合数公式，令少数考生无所适从.试题2[2005理（7）]计算：=__________.[命题立意]本题考查数列极限.[思路分析]本题为数列极限中的指数型，方法是同除以底数较大，指数较小的一项，