数学思想方法 解题金钥匙数学思想方法总复习

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1、Manwillconquernature.人定胜天.思想□嘉兴胡建邦□江山知足长乐数学数学思想方法解题金钥匙著名生物学家达尔文曾经说过：“最有价值的知识，就是关于方法的知识.”若有一道数学题目未解答正确或不知所措，则是由于解题者未掌握思想方法所致，因此，正确理解和掌握数学思想方法是数学学习的关键.下面将书中的数学思想方法归纳一下，供同学们复习时参考.一、数形结合思想数形结合思想是指将数(量)与(图)形相结合来分析、研究、解决问题的一种思想方法，是数学中最常用的方法之一.我国著名的数学家华罗庚说过：“数无形，少直观；形无数，难入微.”数形结合，相得益彰.利用数形结合，可以将所要研究的问题化难

2、为简，化繁为简.例1如图，数轴上A、B两点分别对应实数a、b，则下列结论正确的是()A.a+b＞0B.ab＞0C.a-b＞0D.

3、a

4、-

5、b

6、＞0评注：用数轴上的点表示有理数，就是简单的数形结合思想的体现.它对有理数的绝对值，相反数等概念以及比较有理数的大小等具有明显的直观性.解析：如图所示，0＜a＜1，b＜-1，所以a+b＜0,ab＜0,a-b＞0,

7、a

8、-

9、b

10、＜0.故选C.二、分类讨论思想某些数学问题，涉及的概念、法则、性质、公式是分类给出的，或在解答过程中出现的条件、结论不唯一的情况时，会产生几种可能性，就需要分类讨论，从而得出各种情况下的结论.这种处理问题的思想方法就是分类讨论思

11、想，其作用是考查同学们思维的周密性，使其克服思维的片面性，防止漏解.例2线段AB、BC均在直线l上，若AB=12cm,AC=4cm,M、N分别是AB、AC的中点，则MN的长为_______.评注：分类讨论的思想方法是通过对问题进行分类，逐一讨论满足条件的各类情况，来达到问题的全面解决.本题易漏掉点C在线段BA的延长线上这种情况.解析：本题应分两种情况讨论：如图2，当点C在线段AB上时，如图3，当点C在线段BA的延长线上时，所以MN的长为4cm或8cm.例3某公园的门票价格规定如下：某校初一甲、乙两班共103人（其中甲班人数多于乙班人数）去游乐园，如果两班都以班为单位分别购票，则一共需付48

12、6元.评注：分类讨论极易被忽视，本题因不知乙班到底是多于50人还是少于50人，故应进行分类讨论.解：（1）因为103＞100，所以每张门票按4元收费，所以总票额为103×4=412（元），可节约486-412=47（元）.购票人数1~50人51~100人100人以上每人门票价5元4.5元4元（2）两班各有多少名学生？（1）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可以节约多少钱？（2）因为甲、乙两班共有103人，甲班人数多于乙班人数，所以甲班人数多于51（51＞50）人，乙班有两种情形：①若乙班少于或等于50人，设乙班有x人，则甲班有（103-x）人，依题意得5x+4.5(103-x)=486.

13、（2）两班各有多少名学生？解得x=45，所以103-45=58（人）.即甲班有58人，乙班有45人.②若乙班超过50人，设乙班有x人，则甲班有（103-x）人，则4.5x+4.5（103-x）=486.因为此等式不成立，所以这种情况不存在.故甲班有58人，乙班有45人.三、转化思想转化思想可以说是数学思想方法中的一个核心思想方法，在“有理数、代数式、图形的初步认识”的学习过程中，都涉及了转化的思想方法.如将有理数的除法转化为有理数的乘法，将有理数的减法转化为有理数的加法，化陌生为熟悉；又如图形的展开与折叠，将立体的几何图形转化为平面的几何图形，化复杂为简单，从而达到化新为旧，化未知为已知的

14、目的.例4已知m、n为有理数，则3-(m+n)²的最大值为_____.评注：解决此类问题的关键是理解题意，将新知识问题加以转化，灵活套用，运用所学的知识解决问题.解：因为(m+n)²≥0，所以(m+n)²的最小值为0.所以3-(m+n)²的最大值为3.故填3.分析：要使3-(m+n)²取得最大值，只需减式(m+n)²取最小值即可，从而问题转化为确定出(m+n)²的最小值.例5估算的大小应()A.在6.1~6.2之间B.在6.3~6.4之间C.在6.4~6.5之间D.在6.5~6.6之间评注：估算一个带有根号的无理数的大小，关键是先确定被开方数处于哪两个“相邻”的平方数之间，通过缩小范围就可

15、得到无理数的范围.四、估算思想解析：因为6.1²=37.21，6.2²=38.44,6.3²=39.69,6.4²=40.96,6.5²=42.25,6.6²=43.56.由此可知6.4²＜＜6.5²所以6.4＜＜6.5.故选C.五、用字母表示数的思想用字母表示数的思想，也就是代数思想.用含有字母的式子表示现实生活中的数量关系，使我们从算数跨进了代数的大门.我们在小学形成了具体的数才是数的概念，而《代数式》一章一开始的内