2016届四川中考数学专题复习学案五：图形的折叠问题

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1、图形的折叠问题折叠(翻折)问题常常出现在三角形、四边形、圆等平面几何问题中，其实质是轴对称性质的应用．解题的关键利用轴对称的性质找到折叠前后不变量与变量，运用三角形的全等、相似及方程等知识建立有关线段、角之间的联系．类型1　三角形中的折叠问题　　　　　　　(2015·宜宾)如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB.若C(，)，则该一次函数的解析式为________．【思路点拨】　利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出CO，AO的长，进而得出A、B两点的坐标，再利用待定系数法求出直线AB的解析式．【解答】

2、　连接OC，过点C作CD⊥x轴于点D，∵将△AOB沿直线AB翻折，得△ACB，C(，)，∴AO＝AC，OD＝，DC＝，BO＝BC，则tan∠COD＝＝，故∠COD＝30°，∠BOC＝60°，∴△BOC是等边三角形，且∠CAD＝60°.则sin60°＝，则AC＝＝1，故A(1，0)，sin30°＝＝＝.则CO＝，故BO＝，B点坐标为(0，)，设直线AB的解析式为y＝kx＋，把A(1，0)代入解析式可得k＝－.∴直线AB的解析式为y＝－x＋.折叠(翻折)意味着轴对称，会生成相等的线段和角，这样便于将条件集中．如果题目中有直角，则通常将条件集中于较小的直角三角

3、形，利用勾股定理求解．1．(2015·绵阳)如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD∶DB＝1∶2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE∶CF＝（）A.B.C.D.2．(2014·德阳)如图，△ABC中，∠A＝60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC＝70°，那么∠A′DE的度数为________．　　3．(2014·宜宾)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝________．

4、4．(2015·滨州)如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为(10，8)，则点E的坐标为________．类型2　四边形及其他图形中的折叠问题　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2015·南充)如图，在矩形纸片ABCD中，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠(AP＞AM)，点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．(1)判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？(不需说明理由)(2)如果AM＝1，sin∠DM

5、F＝，求AB的长．【思路点拨】　(1)由矩形的性质得∠A＝∠B＝∠C＝90°，由折叠的性质和等角的余角相等，可得∠BPQ＝∠AMP＝∠DQC，所以△AMP∽△BPQ∽△CQD；(2)设AP＝x，由折叠关系可得：BP＝AP＝EP＝x，AB＝DC＝2x，AM＝1，根据△AMP∽△BPQ得：＝，即BQ＝x2，根据△AMP∽△CQD得：＝，即CQ＝2，从而得出AD＝BC＝BQ＋CQ＝x2＋2，MD＝AD－AM＝x2＋2－1＝x2＋1，根据Rt△FDM中∠DMF的正弦值得出x的值，从而求出AB的值．【解答】　(1)有三对相似三角形，即△AMP∽△BPQ∽△CQD.

6、理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°.根据折叠可知：∠APM＝∠EPM，∠EPQ＝∠BPQ，∴∠APM＋∠BPQ＝∠EPM＋∠EPQ＝90°.∵∠APM＋∠AMP＝90°，∴∠BPQ＝∠AMP，∴△AMP∽△BPQ，同理：△BPQ∽△CQD.∴△AMP∽△BPQ∽△CQD.(2)设AP＝x，∴由折叠关系，BP＝AP＝EP＝x，AB＝DC＝2x.由△AMP∽△BPQ得，＝，即＝，得BQ＝x2.由△AMP∽△CQD得，＝，即＝，得CQ＝2.∴AD＝BC＝BQ＋CQ＝x2＋2.∴MD＝AD－1＝x2＋1.∵在Rt△FDM中，sin∠DM

7、F＝，∴＝.解得x1＝3，x2＝(不合题意，舍去)．即AB＝6.矩形中的一次折叠通常利用折叠性质和平行线性质求角的度数，或者利用折叠性质以及勾股定理求线段长度．矩形中的两次或多次折叠通常出现“一线三直角”的模型(如图)，从而构造相似三角形，利用相似三角形求边或者角的度数．　　　　　　　　　　　　　　　　1．(2013·南充)如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12B．24C．12D．162．(2015·泸州)如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝24，tanC＝

8、2，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点