原子核共振态的复标度方法研究

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1、第一章共振态及复标度方法的引入第一章共振态及复标度方法的引入§1.1共振态定义首先做个散射试验，假定一粒子射向一目标靶，这粒子可以是一电子，原子，或分子等，而靶子可以是原子核，原子或分子等。当发生弹性散射时，这粒子的能量保持不变。但当发生非弹性散射时候，粒子和靶之间就会发生能量交换，粒子最终的能量可能大于或小于初始能量。在相互作用的散射过程中，粒子和靶子之间会因为这些无序的碰撞而产生能量交换，最后各自会有所变化。即使最简单的非弹性散射都可能有三种不同的结果。第一种情况，如图1中的a，粒子从无穷远处过来，但被目标靶吸引住，永远不能飞出去。渐渐的，被困得粒子的势能趋于-

2、∞，同时动能趋于+∞。只有当粒子和靶之间最初的相互吸引势小于V（r）=-r-2,才可以避免这种黑洞现象。另外，如果想得到一个自由进出这个系统的粒子，V（r）从无穷远开始就必须大于r-3的速度递减。图1.b是正常散射情况。图1.c表示了第三种可能，粒子暂时被和靶之间的引力所困，但最终会脱困。当粒子和靶子在相互作用区间的时间大于正常情况直接碰撞过程的时间的话，我们就叫这种现象为共振现象。而共振态定义为能够长时间存在的有足够能量分裂为两个或更多子系统的系统状态。在弹性和非弹性散射中，子系统与散射粒子和靶有关。图1：三种可能的散射轨迹图。3原子核共振态的复标度方法研究§1.

3、2共振态寿命对于能够支持共振态的球对称势V（r），最出名的可能就是描述放射核或不稳定粒子的衰变的势能[47]。很明显，放射核就是我们前面所说的粒子和靶系统中的那个靶。便于理解，可以看图2，给出了这种势的直观图，其中r是α粒子（举例）和核之间的距离，E0和E1分别表示束缚和共振能量。共振态∣E1>的寿命，有时候可能是几秒钟，有时候甚至是几百亿年，例如238U同位素衰变为Th需要4.5×109年。图2：α粒子和靶核之间相互作用势的直观图。另外，大部分情况下，粒子在这种势阱中暂时的被困都可以看成是一种量子现象，就是所谓的隧道现象。当ħ→0时，运动的量子方程就转化为经典方程

4、。当ħ=0时，粒子穿过势垒的概率就会减弱，且没有共振态可以保存，这种共振被称为形状共振。当粒子的能量大于势垒的高度或没有势垒的时候，粒子的这种暂时被困现象也是可能发生的。图3就表示高斯波包通过一势垒的散射结果[48]。从图3b可以看出，当高斯波包的平均能量等于共振能量的时候，波包被困与势阱之上的时间τ长达56.8s，高于其他的两种情况。可见，对共振能量的微小改变都会减少共振寿命τ。我们再看另一种特殊的共振情况：粒子与靶之间的相互作用势不是球对称的。此时，位置固定的粒子与靶系统的束缚态会成为系统到别的位置连续态中的一部分，如图4所示，由于r坐标与角度θ和φ的耦合，束缚

5、态会变成共振态，这种共振被称为Feshbach型共振。4第一章共振态及复标度方法的引入图3：高斯波包通过一势垒的散射图（当x<6.7π时，v(x)=0;当x<0时，v(x)=∞;当x≥6.7π时，v(x)=1)。(a)波包的平均能量低于共振能量；（b）波包的平均能量等于共振能（c）波包的平均能量大于共振能量。§1.3共振现象与散射矩阵的联系在这小节，我们将讨论形状共振和Feshbach共振最高峰的宽度Γn，与S矩阵极点的关系。先简单的设定V是短程势，且随着r→∞，V→0。则当r→∞，与时间无关的薛定谔方程的本征函数可以写为f(r®¥)=A(k)e-ikr+B(k)e

6、+ikr»e-ikr+S(k)e+ikr,E=(hk)2/2m5原子核共振态的复标度方法研究图4Feshbach共振的示意图。S矩阵定义为外出平面波振幅B（k)和进入平面波振幅A(k)比值，在两种情况下，S矩阵有极点：（1）当B(k)有极点，这种情况与共振现象没有联系，可以排除。（2）当A（k)消失，则所有的极点都集中到k的正虚坐标轴上，表示束缚态，这些与散射过程中的运动无关，但所有在复k坐标系第四象限的极点表示共振态。第n个孤立极点S(k)可以写成[49]S（k）µ1/(k-kn)(1.3.1)则dlnS(k)/dk=-1/(k-kn)(1.3.2)其中kn是复极

7、点，且Re(kn)>0,Im(kn)<0.对整个复k平面进行一个闭合积分C，并利用残数定理得¶Nò¶=1lnS(k)dk2ikp(1.3.3)其中N是第四象限中极点的数目。当复k空间中所有的极点都集中到一个封闭的区间时，闭合积分C可以被沿着实k坐标轴的积分所取代（即k从0到∞），则¶N/¶=¶p¶(1.3.4)klnS(k)/2ik可以得到态密度rr=dN/=¶/¶¶/¶(1.3.5)dENkkN6第一章共振态及复标度方法的引入化简得到rm¶¶lnSk)E=(1lnS()=2pi2¶p¶hkk2iE(1.3.6)态密度的最大值rmax为r(kmax=m11Re(