板的稳定(结构数值原理)

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1、式中：Z）NXEt+Nyd2w(4.1)12(l-v2)’为单位宽度板的抗弯刚度。式（4.1）是一个以挠度为未知量的第4章板的稳定4.1板的稳定微分方程板按照其厚度可分为厚板、薄板和薄膜三种。将板的厚度t与板幅面的最小宽度b相比，如果t/b〉l/5〜1/8时，板被称为厚板;当1/80〜1/100

2、曲问题。此时，薄板中的物理方程和内力表达式与弹性力学中平面应力问题的物理方程和内力表达式相同。薄板屮于薄板上1表面等距离的面称为中面。当薄板在中面内承受平行于中面的荷载而失稳时，也可以根据静力平衡准则来确定板的临界荷载。下面根据小挠度理论给出薄板的弹性稳定微分方程常系数线性四阶偏微分方程板的边界条件表达式：1）简支边：烧度w=0，弯距=0，即+vdx0，由于板的边界各点d2w侥度均为零，则其曲率^=0,故d2wdx=02）固定边：侥度w=0,斜率dx3）自由边：弯距；1^.=0,即+vdx"w=o；剪力2A.=0;扭矩=0，均匀分布的扭矩等效于均匀分布

3、的剪力#•O'a与^可合并为dy〜+(24)2^0dx3dxdy4.2受压简支板的弹性失稳4.2.1单向均匀受压简支板的弹性失稳如图4一2所示四边简支矩形板，板的中面上作用有7Vx=-尽、Nxy=Q、Ny=Q'因此，板的弹性稳定微分方程式（4.1）为阁4-2dx2dy2dy4dx(4.2)根据板的边界条件，当又=0和义=“时，w=0、1—^=0、=0；dxdyy=o和｝=办日寸，w—0>U=0>—~r=0.dx一dy^符合这些边界条件的板的挠曲面可用二重三角级数表示为oooovv=.mTix.n7ryEE4。'灿(4.3)m=式中：m和n分别是板失稳

4、时，在x和y力'向的半波数，m=1，2,3,…，n=1，2,3,…；AWH为各项的待定常数。对w微分两次和四次后代入偏微分方程，得.rm47T4-m~n~7ixn47T4W^A"i—+2^^+—DaPxm~K~.mJlX./77ZVsinsin—-=0ab(4.4)由于sinf和sinS均不为零，也不为零，否则板仍然为平而平衡状态，所以4422444n2a2b2b4解得7T2DmbnLa22(4.5)式中：£>Et12(l-v2).只有当n=l时，式（4.5）有最小值，所以有意义的临界荷载为Pcrx兀2D(mba~172——+——amb(4.6)

5、Per,=7T~D(4.7)式中：K-,dK,、由一=0，dm为稳定系数，K=（—+aamb(4.8)Pcrx4tt2D要使上式成立，m-alb必须是整数，如果m=不是整数，则兀2Dmba4=了厂(—+amb7T2D~V~计算临界樹载时，m的取值应使K值最小。当n=l吋，即在y方向成一个半波的条件下，K随m和a/b成曲线关系，如图4一2所示板的长觉比在S▲时，m=l,板以一个半波的形式失稳；长觉比在斤与人之间时，m=2,板以两个半波的形式失稳；长宽比在W与之间时，m=3,余类推。而当长宽比6//U4.0时，K值已非常接近于最小值Kmin二4。由式（4.

6、6）可得板的临界应力crx(4.9)P(:rx二K兀2£t~12(l-r2)(bit)2由式（4.9）可知，单向均匀受压板的临界应力与板的宽厚比的平方成反比，而与板的长度无关。对于单向均匀受压的矩形板，当加载边为简支，而非加载边为各种不Ml的支承条件时，稳定系数K的最小值如表4一1。表4-1序号12345非加载边的支承条件一边简支一边自由一边固定一边自由两边简支一边简支一边固定两边固定稳定系数K0.4251.2804.0005.4206.970只有当6Z//7<2时，同时边界条件由简支变为固定，稳定系数K冰会有较大提高。通过上述讨论可知，对于单向均匀受

7、压的狭长板，用增加横向加劲肋来改变〃//7,从而提高稳定系数的做法并无明显的效果；如果把加劲肋的间距取得小于2b又很不经济。而对于很宽的薄板，如果采用纵向加劲肋以减少板的宽度b倒是奋效的。例如在板的纵1^-20向中心加一条加劲肋时—O4.2.2能量法计算简支板的弹性失稳四边简支的均匀受压板，计算公式中每一项都有sin^sin^,因此，可以从各ab项中将其分离出来，这样用平衡法求解很方便；而当板的支承条件不是简支时，三角函数则无法分离，这时就需耍用能量法来求解。1）板的总势能n已知n=（/+v,则弹性应变能.2d2wddx2dydxdy>dxdy外力势能

8、v=-去ndwdx2w2dy+2Pxydwdxdxdydy2）瑞利一李兹法假设符合板的几何边