2014中考备考数学总复习专题四归纳与猜想(含解析)

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1、专题四　归纳与猜想归纳猜想问题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴涵的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论，在解答过程中需要经历观察、归纳、猜想、试验、证明等数学活动，以加深学生对相关数学知识的理解，认识数学知识之间的联系．在试卷中多以选择题、填空题、解答题的形式出现．考向一　数字规律问题数字规律问题，即按一定的规律排列的数之间的相互关系或大小变化规律的问题．【例1】如图，一个数表有7行7列，设aij表示第i行第j列上的数(其中i＝1,2,3，…，j＝1,2,3，…)．例如：第5行第3列上的数a53＝7.　　

2、　　　　1　2　3　4　3　2　12345432345654345676545678765678987678910987则(1)(a23－a22)＋(a52－a53)＝__________.(2)此数表中的四个数anp，ank，amp，amk，满足(anp－ank)＋(amk－amp)＝__________.解析：根据数表中数字排列规律，得a23＝4，a22＝3，a52＝6，a53＝7，所以(1)的答案是(4－3)＋(6－7)＝0.对于(2)中四个数anp，ank，amp，amk，可以发现anp与ank为同一行的数，且其差为第p个数与第k个数之差，同理amk与amp之差也为同行中第k个数与

3、第p个数之差．根据数表中数字排列规律可以发现这两个差互为相反数，所以(anp－ank)＋(amk－amp)＝0.答案：(1)0　(2)0方法归纳解答数字规律问题的关键是，仔细分析数表中或行列中前后各数之间的关系，从而发现其中所蕴涵的规律，利用规律解题．考向二　数式规律问题解答此类问题的常用方法是：(1)将所给每个数据化为有规律的代数式或等式；(2)按规律顺序排列这些式子；(3)将发现的规律用代数式或等式表示出来；(4)用题中所给数据验证规律的正确性．【例2】给出下列命题：命题1：直线y＝x与双曲线y＝有一个交点是(1,1)；命题2：直线y＝8x与双曲线y＝有一个交点是；命题3：直线y＝27

4、x与双曲线y＝有一个交点是；命题4：直线y＝64x与双曲线y＝有一个交点是；……(1)请你阅读、观察上面命题，猜想出命题n(n为正整数)；(2)请验证你猜想的命题n是真命题．解：(1)命题n：直线y＝n3x与双曲线y＝有一个交点是；(2)将代入直线y＝n3x得：右边＝n3×＝n2，左边＝n2，∴左边＝右边．∴点在直线y＝n3x上．同理可证：点在双曲线y＝上，∴直线y＝n3x与双曲线y＝有一个交点是.方法归纳此类问题要从整体上观察各个式子的特点，猜想出式子的变化规律，并进行验证．对于本题来说，关键是发现变化的点的坐标的横坐标和纵坐标之间的关系，同时找出两个函数的系数和横坐标的关系．考向三　数

5、形规律问题根据一组图形的排列，探究图形变化所反映的规律，其中以图形为载体的数字规律最为常见．【例3】用同样大小的小圆按下图所示的方式摆图形，第1个图形需要1个小圆，第2个图形需要3个小圆，第3个图形需要6个小圆，第4个图形需要10个小圆，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要小圆__________个(用含n的代数式表示)．解析：观察图形可知，第n个图形比第(n－1)个图形多n个小圆，所以第n个图形需要小圆1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)．答案：n(n＋1)方法归纳解决这类问题的关键是，仔细分析前后两个图形中基础图案的数量关系，从而发现其数字变化规律．具体地说，先根据图形写出数字规律，然后

6、将每一个数字改写为等式，再比较各等式的相同点和不同点，分析不同点(数字)与等式序号之间的关系，从而得到一般规律．一、选择题1．如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中，，，，，…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为l1，l2，l3，l4，l5，l6….当AB＝1时，l2011等于(　　)A．B．C．D．2.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为(1,0)，点D的坐标为(0,2)．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…，按

7、这样的规律进行下去，第2011个正方形的面积为(　　)A．52010B．52011C．52009D．54020二、填空题3．按一定规律排列的一列数，依次为1,4,7，….则第n个数是__________．4．如图(1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1；取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△D1E1F1各边中点