圆锥曲线知识要点和重要结论

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1、《圆锥曲线》知识要点及重要结论一、椭圆1定义平面内到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆.若，点的轨迹是线段.若，点不存在.2标准方程，两焦点为.，两焦点为.其中.3几何性质椭圆是轴对称图形，有两条对称轴.椭圆是中心对称图形，对称中心是椭圆的中心.椭圆的顶点有四个，长轴长为，短轴长为，椭圆的焦点在长轴上.若椭圆的标准方程为，则；若椭圆的标准方程为，则.二、双曲线1定义平面内到两定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹叫做双曲线.若，点的轨迹是两条射线.若，点不存在.2标准方程，两焦点为.，两焦点为.其中.3几何性质双曲线是轴对称图形，有两条对称轴；双曲线是中心对称图形，对称中心是双曲

2、线的中心.双曲线的顶点有两个，实轴长为，虚轴长为，双曲线的焦点在实轴上.若双曲线的标准方程为，则；若双曲线的标准方程为，则.54渐近线双曲线有两条渐近线和.即双曲线有两条渐近线和.即双曲线的渐进线是它的重要几何特征，每一双曲线都对应确定双曲线的渐进线，但对于同一组渐进线却对应无数条双曲线.与双曲线共渐进线的双曲线可表示为.直线与双曲线有两个交点的条件，一定要“消元后的方程的二次项系数”和“”同时成立.5等轴双曲线：实轴长等于虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线的标准方程为或.等轴双曲线的渐近线方程为.6共轭双曲线：实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线互为共轭双曲线.如：的共轭双曲线为，它们的

3、焦点到原点的距离相等，因而在以原点为圆心，为半径的圆上.且它们的渐近线都是和.三、抛物线1定义平面内与一个定点和一条定直线不在上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线.2标准方程(1)，焦点为，准线方程为，抛物线张口向右.(2)，焦点为，准线方程为，抛物线张口向左.(3)，焦点为，准线方程为，抛物线张口向上.(4)，焦点为，准线方程为，抛物线张口向下.其中表示焦点到准线的距离.3几何性质5抛物线是轴对称图形，有一条对称轴.若方程为或，则对称轴是轴，若方程为或，则对称轴是轴.若抛物线方程为，则.若抛物线方程为，则.若抛物线方程为，则.若抛物线方程为，则

4、.圆锥曲线的一些重要结论【几个重要结论】1已知椭圆的两焦点为，为椭圆上一点，则因为，，所以.同理，.已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线上一点，则，.2椭圆的两焦点为，为椭圆上一点，若，则的面积为.解：根据椭圆的定义可得①5由余弦定理可得②由①②得.从而所以，的面积为双曲线的两焦点为，为其上一点，若，则的面积为.3已知椭圆，是上关于原点对称的两点，点是椭圆上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点位置无关的定值.解：设，则.，从而.又因为都在椭圆上，故.两式相减得，，因而即.类似结论已知双曲线.是上关于原点对称的两点，点是双曲线上任意一点，当直线的斜率都存在，并记为时，那

5、么与之积是与点位置无关的定值.【常用方法】1在求轨迹方程时，若条件满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可以用定义求轨迹方程，这是常用求轨迹的数学方法，称为定义法.2本章经常会碰到直线与圆锥曲线相交于两点的问题，若已知过定点5，则可设的方程为或.然后分两种情况进行研究，一般处理方法是把直线方程代入曲线的方程中，整理得到关于或的一元二次方程(要注意二次项系数是否为零).韦达定理和判别式经常要用到！若的条件不明显时，则可设的方程为或.3本章还经常用到“点差法”：设直线与圆锥曲线交于点,则两点坐标都满足曲线的方程，然后把这两个结构相同的式子相减，整理可以得到直线的斜率的表达式，也经常会出现，这样

6、又可以与线段的中点联系起来！4若三点满足以线段为直径的圆经过点或时，常用处理方法有：①根据勾股定理可得；②根据的斜率与的斜率之积为，可得；③根据可得.5求轨迹方程的方法常见的有：直接法、定义法、待定系数法、代入法（也叫相关点法）.5