2.数学建模-如何提出假设

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1、§3.如何作好建模过程中的假设根据实际问题需要提出新的不同假设实例席位分配问题：甲，乙，丙三个公司各投资103万元，63万元，34万元组建联合企业集团。为了成立由20人组成的集团董事会，按投资数比例分配董事席位如下：甲公司10人((20×(103/(103+63+34))=20×51.5%=10.3人)，乙公司6人(20×(63/(103+63+34))=20×31.5%=6.3人)，丙公司4人(20×(34/(103+63+34))=20×17%=3.4人)。经一段时间后，委员会需要增加一个代表席位，变为21人董事会，根据投资数比例分

2、配办法，重新计算如下：甲公司11人（21×51.5%=10.8人），乙公司7人（21×31.5%=6.61人），丙公司3人（21×17%=3.57人）。问题分析：“按投资数比例分配席位是科学合理”的说法，在增加席位这一新问题上，显然是一个不成功的假设。需提出新的假设，并建立新的席位分配模型，以期解决在增加代表人数时，某个单位不仅得不到代表增加数，反而减少原有代表数的问题。出现反常现象（AlabamaParadox）！分配席位过程中，“公平”是一个原则。“公平”的数量化度量方法是考虑代表率。但由于人数需取整原因，不可能做到绝对公平，即绝对

3、按代表率数值来分配整数席位是无法实施的，因此在评价两种都不是绝对公平的方案时，要对不公平程度作出数量化度量，以不公平程度最小为取舍原则。什么是一个方案的不公平程度的数量度量？先研究只有两个公司的情况。如果已有分配方案：公司投资数席位代表率甲公司p1n1p1/n1乙公司p2n2p2/n2假定p1/n1>p2/n2,即对甲公司存在不公平因素。借用数学中的有关概念,引入该方案的相对不公平值r来量化这个不公平因素：这时，若再增加一席，有两种方案：甲p1n1+1p1/（n1+1）乙p2n2p2/n2和甲p1n1p1/n1乙p2n2+1p2/（n2

4、+1）它们各自有两个相对不公平值r1和r2:我们现在为了解决两公司情况中增席而不发生反常现象（AlabamaParadox）的问题，认为“取相对不公平值为最小的方案来操作”是能够建立科学合理的席位分配模型的（一种新假设）。在这种最合理的假设下，我们的操作过程（建立模型过程）为比较r1和r2的大小：如果r1>r2，则给乙公司增席；如果r2>r1，则给甲公司增席。若记则“给甲公司增席”↔r1Q2.称之为Q值（Quota），上述建模方法因此称为“比较Q值大小法”，简称“Q值法”，具体地说，就是在现有的席位分配状态下，各自计算Q值

5、，哪个Q值大，就增加一席给哪个公司。至于开始的分配方案，可以均取为一席，然后用上述Q值法从第三席起进行增席操作，直止所有席位分配完毕。这样建立的席位分配模型，显然能够解决问题而不出现AlabamaParadox。这种模型也适用于两个公司以上的多公司情况。例如我们来解决本节开始提出的三公司分配董事会席位问题：公司（投资数）席位数（Q值）甲公司（103万元）1（5304.5）2（1768.2）2（1768.2）乙公司（63万元）1（1984.5）——→1（1984.5）——→2（661.5）丙公司（34万元）1（578）1（578）1（57

6、8）3（884.1）4（530.5）4（530.5）4（530.5）——→2（661.5）——→2（661.5）——→3（330.8）——→3（330.8）1（578）1（578）1（578）2（192.7）5（353.6）6（252.6）6（252.6）7（189.4）——→3（330.8）——→3（330.8）——→4（198.5）——→4（198.5）2（192.7）2（192.7）2（192.7）2（192.7）7（189.4）7（189.4）8（147.3）9（117.9）——→5（132.3）——→5（132.3）——→5（

7、132.3）——→5（132.3）2（192.7）3（96.3）3（96.3）3（96.3）9（117.9）10（96.4）11（80.4）11——→6（94.5）——→6（94.5）——→6（94.5）——→63（96.3）3（96.3）3（96.3）4问题的最后答案是：甲公司11席，乙公司6席，丙公司4席。从分配过程中可看到，实际上总共20个席位时，分配方案是（11，6，3），而不是（10，6，4），在此基础上再增一席，就变成了（11，6，4）我们称Q值法，即分配方案的相对不公平值应最小，是建立席位分配模型的一种假设，而不是一种真理

8、，这表明还可以提出另外种种假设，从而可能得到席位分配模型的另外的解答方案。答案不唯一！这就是数学建模的魅力所在！例如，在多公司席位分配问题中，有人认为衡量各种方案中不公平程度最小的数量指标（建模的不同假设）