概率统计第二章 随机变量和其分布

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1、第二章随机变量及其分布第一节随机变量的概念第一章给出了概率论定义，并讨论了最简单的概型中随机事件的概率计算问题．在遇到简单的具体事件时，可以先判断其类型，然后求概率．然而，实际中遇到的概率问题往往错综复杂、千变万化，并非都是我们所熟悉的简单的概型．这时，需要全面、系统地研究随机试验．随机变量的引入是概率论发展史上的里程碑，它使得对随机现象的研究转化为普通函数的研究，从而可用微积分工具，使得概率论研究跃上了一个更高的台阶．可以这样说，没有随机变量，概率论就称不上是一门真正的新学科．一随机变量（RandomVariable）的概念1.随机变量：随机变量是这样的有种变量，它

2、的数值是随着试验的结果而定的，由于试验的结果是随机的，所以它的数值具有随机性.当试验结果确定后，它也就相应地取得确定的数值，而在试验前是不可能预料它将取得什么数值的.这样，随机试验就引出了一种变量，它随着结果的不同而取不同的值，而结果是不确定的、随机的，故称这样的变量为随机变量．随机变量常用大写字母等表示，而其取值常用相应的小写字母等表示．引入了随机变量，就可以用它统一表示我们关心的事件．随机变量的不同取值实质上形成了一系列随机事件，这样，关于事件的研究就可以纳入到随机变量里来，不同事件的概率及相互关系可统一处理，从而有利于研究随机事件的本质规律．可以这样说，随机事件

3、是以静态的孤立的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的全面的观点研究随机现象．例1.设有100件产品，其中有2件次品，从中任意取10件，设“抽得的次品件数”为X，则X就是一个随机变量.，这里{}==“任意取10件中，恰有个次品”，例2.某射手每次射击打中目标的概率为0.8，现在连续向一个目标射击，直到首次击中目标时为止.设“射击次数”为X，则X就是一个随机变量：.此时，事件“直到第5次才击中目标”可用{}来表示.例3.某长途汽车站每隔10分钟有一辆汽车经过，假设乘客在任一时刻到达汽车站是等可能的，则“乘客等候汽车的时间”X就是一个随机变量，它在0~10分钟之间取

4、值.2.随机变量的分类：由上面的例可以看出，有的随机变量，它的取值能够一一列举出来，（包括有限个或无穷可列个）；但有的随机变量，它的取值不能够一一列举出来，（包括无限不可列个或取值充满某个实数区间）。我们把前面一类称为离散型随机变量，把后面一类称为非离散型随机变量（其中最主要的，最重要的是连续型随机变量）.第二节离散型随机变量及其分布律一.离散型随机变量及其分布律1.离散型随机变量(Discreterandomvariable)[定义]若随机变量X的所有可能取值为有限个或可列个，则称X为离散型随机变量，2.离散型随机变量的概率分布(Probability(mass)f

5、unction)．：离散型随机变量X的所有可能取值为，X取各个可能值的概率为，则称函数为离散型随机变量X的概率分布（或分布律）.【注1】分布律的表格形式：【注2】分布律可完整刻画离散型随机变量的概率分布．利用分布律可求任意事件的概率：3.分布律的基本性质性质1：(非负性)性质2：．(正则性)例1.盒中有2白球、3红球．从中任取3个，求取得的白球数X的分布律．解：X的可能取值为：0，1，2.；；.X012P3/106/101/10例2.问最多取出1个白球的概率是多少？解：==.例3.设随机变量X的分布律为，试求．解：∵，∴，故：.二常见的离散型分布概率论实践中总结出了重

6、要的几类概率模型和与之相关的随机变量的概率分布．我们需要了解这些重要的概率分布及其产生的背景，从而指导决策．1.二项分布（Binomialdistribution）1）二项分布的定义[定义]若随机变量的分布律为则称服从参数为的二项分布，记为．【注3】二项分布的背景：n重伯努利试验中“成功”（事件）的次数，其中，即一次试验成功的概率．【注4】“二项”名称的由来：∵，（）恰好是二项展开式中的项．【注5】时的二项分布又称为0-1分布．0-1分布的分布律：．或例4.某人进行射击，设每次射击的命中概率为0.03，独立射击300次．试求至少命中两次的概率．解由题意，命中次数，即的

7、分布律为．于是所求概率为：.【注6】全不成功的概率：全部成功的概率：至少成功一次的概率：至少成功两次的概率：．【注7】关于小概率事件：*实际推断原理或小概率事件原理：“小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的．”*只要试验次数很多，而且试验是独立地进行，那么小概率事件的发生是几乎可以肯定的．2）二项分布的泊松近似泊松（Poisson）定理：设是常数，则对任一非负整数，有【注8】泊松定理表明，当n很大（P很小）时，．回到例4的计算，，则可取.的值可查表计算.则：.2泊松分布（Poissondistribution）[定义]若随机变量X的分布律为其中是常