《数值分析》习题4(1)

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1、习题四(第1、2、4、5、6、7、11、13、14、16、17题)1.给定在3点处的值，试以这3点建立的2次(抛物)插值公式，利用插值公式求的近似值并估计误差。再给建立3次插值公式，给出相应的结果。解：，,,，，，，，，，=，实际误差，实际误差1.设为互异节点求证：(1);(2)。解：(1)考虑函数以为插值节点的次插值多项式，由插值余项公式有,(2)法1当时法2设，考虑它的次插值多项式有，令得，4.设，且，求证：解：考虑以为节点的一次插值多项式，则有，当时于是法2设在处达到最大值，如果或则结论显然成立，现设则有当时，当时，5.设有个不同的实根,证明:。解：由于是的个不同的实根，

2、所以可为因而(*)法1记，则=将上式代入(*)得法2考虑以为插值节点的次插值多项式，则有，比较两边的系数，得6.设有函数值表134679976431试求各阶差商，并写出Newton插值多项式。解：7.设，求及。解：，11.设互不相同，(1)作次多项式满足,(2)作多项式满足,()解：由条件,可设再由得对求导得由得于是2)由，，，可设求导得求得于是13.给定。设是4重插值节点，是单重插值节点，试求相应的Hermite插值公式，并估计误差。解：，，，，14.在[]上求插值多项式，使得,,,解：作满足，，则令，(*)则，，又为3次多项式，故代入(*)得(**)求2阶导数得由得解得因而

3、16．设，在上取，按等距节点求分段线性插值函数，计算各相邻节点间中点处的与的值，并计算误差。解：，，，，，各相邻节点间中点处的的值的值及误差列于下表00.04276020.04244030.000319910.05294120.05245900.000482220.06714760.06639000.000757630.08773580.08648650.001249340.11678830.002177250.16896550.16494850.004017060.25381620.24615380.007692470.40384620.39024390.013602380.

4、650.640.0190.90.0411765100.90.640.0411765110.150.650.39024390.01120.250.40384620.24615380.0136023130.350.25384620.16494850.0076924140.450.16896550.11678830.004017150.550.11896550.08648650.0021772160.650.08773580.06639000.0012493170.750.06714760.05245900.0007576180.850.05294120.04244030.00048

5、22190.950.04276020.000319917.欲使线性插值具有4位有效数字。在区间[0,2]上列出函数的具有五位有效数字的等距节点的函数值表，问步长最多可取多大？解：，。，，，当,,即只要