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1、第三节 函数项级数的一致收敛性本节将讨论函数项级数有关性质。定义1设，，……，，……，是集合E上的函数列，我们称形为++……++……为E上的函数项级数，简记为。其中称为第n项.++……++……也记为.记号中n可以用其它字母代之.同研究常数项级数一样，我们类似可以定义其收敛性。定义2设是集合E上的函数项级数，记=++……+，它称为级数的部分和函数（严格地说是前n项部分和函数）.称为的部分和函数列。如果在点收敛，我们也说在点收敛或称为该级数的收敛点。如果在点收敛，我们称在点绝对收敛。非常容易证明绝对收敛一定收敛。的收敛域也称为该级数的收敛域。如果在点不收敛，我们说在点发散。如果在D上点态收敛于，
2、我们称在D上点态收敛于.称为该级数的的和函数。称为该级数关于前n项部分和的余项.6称为该级数的余项函数列.如果在D上一致收敛于，我们称在D上一致收敛于，或在D上一致收敛.如果在D上内闭一致收敛于，我们称在D上内闭一致收敛.用的进行叙述将是：设是D上函数项级数，是D上函数。若对任意>0，总存在一个正数正数N（只能依赖于，绝对不依赖于x），当时，对一切的，总有，则称该函数项级数在D上一致收敛于.同样一致收敛一定点态收敛.例1定义在（—∞，+∞）上的函数项级数（几何级数）的部分和函数是.显然当
3、x
4、<1时.时，几何级数是发散的。其收敛域是（—1，1）.显然几何级数在（—1，1）上不是一致收敛的.函
5、数列的有关结论，都可以不加证明地推广到函数项级数.定理11.8（函数项级数一致收敛Cauchy准则）函数项级数在集合D上一致收敛的充分必要条件是：对任意ε>0,总存在正数N，使得当正整数m，n，有m>n>N时，对一切的x∈D,都有。.6推论在D上一致收敛的必要条件是在D上一致收敛于0。反之未必（请读者举例）.定理11.9在D上一致收敛的充分必要条件是其余项函数列一致收敛于0.定理11.10（Weierstrass判别法）设是收敛的正项级数，是D上的函数项级数。如果，则在D上一致收敛。证明因正项级数收敛，所以，任意>0，存在正数N,当(m>n)时,.那么对任意，由Cauchy准则，得证。例在（
6、—∞，+∞）上一致收敛。定理11.11（Abel判别法）设函数项级数在D上一致收敛，函数列在D上一致有界，即存在常数M,使得，，，如果关于n是单调的，那么在D上一致收敛。证明因一致收敛，所以任意>0，存在正数N,当(m>n)时,对所有。又.由一致收敛Cauchy准则即证。定理11.12（Dirichlet判别法）设D上函数项级数的部分和函数列在D上6一致有界，函数列在D上一致收敛于0，如果关于n是单调的，那么在D上一致收敛。证明因的部分和函数列在D上一致有界,所以存在M>0,使得满足,所以.又在D上一致收敛于0，所以任意>0，存在正数N,当时,对所有。当(m>n)时,对所有.又由Cauchy
7、一致收敛准则即证。例如果常数列单调收敛于0，那么在（0，2π）上内闭一致收敛。证明数列收敛于0意味着关于x一致收敛于0，对任意（0，2π）的子集[a,b],当记M=min{}>0,则任意[a,b]中的x，有.所以.由Dirichlet判别法知道，原级数在（0，2π）上内闭一致收敛.下面将给出与函数列相应的一些性质，不于证明：定理11.13（连续性）若函数函数项级数的每一项在区域D上都连续。如果在D上一致收敛于，则其和函数在D上也连续。即.6定理11.14（逐项可积性）设函数列在上一致收敛，每一项在上都连续,则.即积分与无限求和运算可交换。定理11.15（逐项可微性）设函数列在上满足：（1）有
8、连续导函数；（2）点态收敛于；（3）一致收敛于，则在上可导，并且，即.也就是说在一定条件下，求导运算与无限求和运算交换顺序。定理11.16设函数项级数在区域D上点态收敛于，如果（1）在D上连续；（2）在D上连续；（3）对D上每个固定的x，不变号，则在D上一致收敛于.习题11-31.判别下列级数的一致收敛性1）；2）3）4）；61.设在(0,1)里单调增加,≥0,(n=1,2,……).如果在(0,1)里点态收敛,且有上界,那么在(0,1)里一致收敛.且2.证明当x≠整数时收敛,其和函数是为1的周期函数,并且当x≠整数时,和函数连续.3.设在[a,b]上连续(n=1,2,……),在(a,b1)里
9、一致收敛,证明在[a,b]上一致收敛.4.设是(0,1)中的两两不同的数列,讨论在(0,1)中的连续性.其中.5.证明在(0,+∞)上，在[0，1]上非一致收敛.6.证明在(0,+∞)内收敛,但非一致收敛,而和函数在(0,+∞)内有无穷次导数.7.证明在x>1内连续。6
