高中物理竞赛解题方法之递推法例题

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1、六、递推法方法简介递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况。即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式。具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论。再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解。用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式。塞题精析例1：质点以加速度a从静止出发做直线运动，在某时刻t，加速度变为2a；在时刻2t，加速度变为3a；…；在nt时刻，加速度变为(n+1)a，求：（1）nt时刻质点的速度；（2）nt时间内通过的总路程。解析：根据递推法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求

2、解。（1）物质在某时刻t末的速度为vt=at2t末的速度为v2t=vt+2at即v2t=at+2at3t末的速度为v3t=v2t+3at=at+2at+3at……则nt末的速度为vnt=v(n－)t+nat=at+2at+3at+…+nat=at(1+2+3+…+n)=at(n+1)n=n(n+1)at（2）同理：可推得nt内通过的总路程s=n(n+1)(2n+1)at2例2：小球从高h0=180m处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小（n=2），求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程。（g取10m/s2）解析：小球从h0高处落地时，速率v0==60m/s第一次跳起

3、时和又落地时的速率v1=第二次跳起时和又落地时的速率v2=……第m次跳起时和又落地时的速率vm=每次跳起的高度依次为h1==，h2==，……，通过的总路程Σs=h0+2h1+2h2+…+2hm+…=h0+(1+++…++…)=h0+=h0=h0=300m经过的总时间为Σt=t0+t1+t2+…+tm+…=++…++…=［1+2+…+2()m+…］===18s例3：A、B、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？

4、解析：由题意可知，由题意可知，三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图6—1所示。所以要想求出捕捉的时间，则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动，再用递推法求解。设经时间t可捕捉猎物，再把t分为n个微小时间间隔Δt，在每一个Δt内每只猎犬的运动可视为直线运动，每隔Δt，正三角形的边长分别为a1、a2、a3、…、an，显然当an→0时三只猎犬相遇。a1=a－AA1－BB1cos60°=a－vΔta2=a1－vΔt=a－2×vΔta3=a2－vΔt=a－3×vΔt……an=a－nvΔt因为a－nvΔt=0，

5、即nΔt=t所以：t=（此题还可用对称法，在非惯性参考系中求解。）例4：一列进站后的重载列车，车头与各节车厢的质量相等，均为m，若一次直接起动，车头的牵引力能带动30节车厢，那么，利用倒退起动，该车头能起动多少节同样质量的车厢？解析：若一次直接起动，车头的牵引力需克服摩擦力做功，使各节车厢动能都增加，若利用倒退起动，则车头的牵引力需克服摩擦力做的总功不变，但各节车厢起动的动能则不同。原来挂钩之间是张紧的，倒退后挂钩间存在Δs的宽松距离，设火车的牵引力为F，则有：车头起动时，有：(F－μmg)Δs=m拉第一节车厢时：(m+m)=mv1故有：==(－μg)Δs(F－2μmg)Δs=×2m－×2

6、m拉第二节车厢时：(m+2m)=2mv2故同样可得：==(－μg)Δs……推理可得：=(－μg)Δs由＞0可得：F＞μmg另由题意知F=31μmg，得：n＜46因此该车头倒退起动时，能起动45节相同质量的车厢。例5有n块质量均为m，厚度为d的相同砖块，平放在水平地面上，现将它们一块一块地叠放起来，如图6—2所示，人至少做多少功？解析将平放在水平地面上的砖一块一块地叠放起来，每次克服重力做的功不同，因此需一次一次地计算递推出通式计算。将第2块砖平放在第一块砖上人至少需克服重力做功为W2=mgd将第3、4、…、n块砖依次叠放起来，人克服重力至少所需做的功分别为：W3=mg2dW4=mg3dW5

7、=mg4d……Wn=mg(n－1)d所以将n块砖叠放起来，至少做的总功为W=W1+W2+W3+…+Wn=mgd+mg2d+mg3d+…+mg(n－1)dmgd例6：如图6—3所示，有六个完全相同的长条薄片AiBi（i=2、4、…）依次架在水平碗口上，一端搁在碗口，另一端架在另一薄片的正中位置（不计薄片的质量）。将质量为m的质点置于A1A6的中点处，试求：A1B1薄片对A6B6的压力。解析：本题共有六个物体，通过观察会发现