实变函数课程教学设计方案

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1、实变函数课程教学设计方案（修改稿）　　为了落实教育部批准的《关于广播电视大学开展人才培养模式改革和开放教育试点的报告》的精神，保证《中央广播电视大学“开放教育试点”理学科数学类数学与应用数学专业（本科）教学计划》的具体实施，搞好开放教育试点的具体教学与管理工作，保证试点工作的教学质量，实现培养目标，特制定“实变函数”课程设计方案。　　一、课程的性质与任务　　《实变函数》课程是中央广播电视大学数学与应用数学专业的一门限选课，近年来，它已成为高等院校数学与应用数学专业的一门重要基础课，实变函数论是数学分析中微积分理论的深入和发展

2、。它的主要任务是使学生掌握抽象分析的基本思想，为进一步学习现代数学打下必要的基础。　　实变函数课程的主要内容是勒贝格测度和勒贝格积分理论，包括集合与点集、勒贝格测度与勒贝格积分等。　　学习实变函数课程需要数学分析课程的有关知识，同时它也为应用概率统计与泛函分析等后继课的学习做好了必要的准备。　　二、课程的目的与要求　　1.实变函数是一门抽象性很强的学科，它虽然是数学分析的深入和继续，但在思想方法上却有着较大的飞跃，它比后者更抽象、更理论化。通过本课程的学习要培养学生抽象思维的能力，提高逻辑推理与论证能力。　　2.通过集合与n

3、维欧氏空间点集理论的学习，使学生对集合理论有初步了解。集合的基数及其大小的比较是集合论的基本内容。点集理论是测度理论和新积分理论的必要基础，同时也为一般抽象空间的学习提供了具体模型。　　3.勒贝格测度是为建立勒贝格积分作准备的，勒贝格积分的定义域一般是n维欧氏空间中的点集（可测集），因此就需要给出点集的一种“度量”，这种“度量”是人们熟知的长度、面积和体积的推广，也就是勒贝格测度。要求理解勒贝格测度的本质所在。　　4.勒贝格积分理论是本课程的中心内容，是数学分析中黎曼积分的推广，它无论在理论上还是应用上都比黎曼积分有许多优越

4、之处。学生在学习时要把两种积分相对照，注意它们之间的联系与区别，这样会便于加深对新积分的理解与掌握。　　5.本课程中的概念和定理较多，要注意概念的本质及与相关概念之间的联系。通过例题和适当的练习使学生加深对概念的理解。在定理的证明中，要注意引导学生掌握证明的思想方法，教学中注意由简单到复杂，由特殊到一般。对重要定理，要指出它的实质，意义和作用，使学生能深入理解并能用来解决实际问题。　　三、课程的教学内容　　(一)集合　　1.集合及其运算：集合的描述与表示，子集，集合的相等，集合的并、交、差、补及其运算性质，笛·摩根公式。　　

5、2.映射与基数：单射、满射、双射，对等，基数的比较，伯恩斯坦定理。　　3.可列集合：可列集的定义及等价条件，可列集的运算性质，可列集的例：有理数集。　　4.无限不可列集：[0,1]中的点集是无限不可列集，连续点集的基数及常见的例子，基数无最大者。　　(二)n维空间中的点集　　1.距离、邻域、内点、聚点：距离、收敛、邻域、内点、聚点及其等价条件，孤立点、边界点，内核、导集及其简单性质。Bolzano-Weierstrass定理。　　2.开集、闭集、完备集：开集、闭集、完备集的定义，开集、闭集的运算，直线上开集、闭集、完备集的

6、构造。平面上开集的构造。　　3.覆盖定理、点集间的距离：Borel有限覆盖定理，距离可达定理，隔离性定理。　　4.康托（Cantor）集：Cantor集的构造，Cantor集的性质。　　　　(三)勒贝格测度　　1.勒贝格外测度及其性质：勒贝格外测度，外测度的性质，可列集与区间的外测度，勒贝格内测度。　　2.勒贝格可测集：可测集的定义，卡拉皆屋独利条件，可测集的运算性质，单调可测集列极限的测度。　　3.可测集的构造：区间、开集、闭集皆可测、Gσ型集，Fσ型集，可测集同开集、闭集、Gσ型集、Fσ型集之间的关系。　　(四)可测函数

7、　　1.点集上的函数：广义实数系R=RY(±∞)的运算点集上的连续函数，点集上的连续函数列一致收敛的极限函数的连续性，函数列不收敛点集的表示，函数列的上、下极限，“几乎处处”的概念。　　2.勒贝格可测函数：可测函数的定义及等价条件，连续函数与简单函数皆可测，可测函数关于代数运算和极限运算的封闭性，可测函数同简单函数列的关系。　　3.可测函数列的收敛性：叶果洛夫定理，依测度收敛，依测度收敛与几乎处处收敛互不包含的例子，勒贝格定理，黎斯定理，依测度收敛极限的唯一性。　　4.可测函数的结构：鲁金定理（两种形式）　　(五)勒贝格积分

8、　　1.有界函数的积分：测度有限集合上有界函数的勒贝格大和与小和，上积分与下积分，有界勒贝格可积函数，有界可积的充要条件是有界可测。　　2.有界函数积分的性质：积分区域与被积函数的有限可加性，积分的线性性质。积分的单调性与绝对可积性，区间上的有界函数黎曼可积必勒贝格可积且积分值相等。　　3