勾股定理的六种证明

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1、证明一证明二证明三证明四证明五证明六拼图与勾股定理证明一ba(a+b)2=c2+4(½ab)a2+2ab+b2=c2+2aba2+b2=c2c证明二cbac2=(ab)2+4(½ab)=a22ab+b2+2abc2=a2+b2弦图赵爽东汉末至三国时代吴国人为《周髀算经》作注，并著有《勾股圆方图说》。证明三½(a+b)(b+a)=½c2+2(½ab)½a2+ab+½b2=½c2+aba2+b2=c2aabbcc证明二及证明三的比较两个证明基本上完全相同！a2b2证明四证明四证明四证明四证明四c2a2+b2=c2青朱出入图刘徽（生於公元三世紀）三国魏晋时代人。魏景元四年（

2、即263年）为古籍《九章算术》作注释。在注作中，提出以「出入相补」的原理來证明「勾股定理」。后人称该图为「青朱入出图」。拼图游戏证明五c2证明五证明五证明五a2b2a2+b2=c2a印度婆什迦罗的证明cc2=b2+a2b证明证明证明证明证明勾股定理的证明【证法1】（赵爽证明）以a、b为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90º，∴∠EAB+∠HAD=90º，∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.∵EF=FG=GH=

3、HE=b―a,∠HEF=90º.∴EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于∴.∴【趣闻】：在1876年一个周末的傍晚，在美国华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？

4、”伽菲尔德答到：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证

5、明，就把这一证法称为“总统”证法。∴【证法2】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC.∵∠AED+∠ADE=90º,∴∠AED+∠BEC=90º.∴∠DEC=180º―90º=90º.∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，它的面积等于.又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于∴已知：在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D。

6、想一想：图中有哪些三角形是相似的？下列线段有怎样的关系？解：△ACD∽△ABC∽△CBD可得:(1)CD2=AD·BD(2)AC2=AD·AB(3)BC2=BD·AB则有:AC2+BC2=(AD+BD)·AB即:AC2+BC2=AB2BCAD勾股定理的证明2.利用相似三角形