勾股定理的十六种证明方法

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1、勾股定理的十六种证明方法【证法1】此主题相关图片如下:做8个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到,这两个正方形的边长都是a+b,所以面积相等.即a^2+b^2+4*(ab/2)=c^2+4*(ab/2)整理得到:a^2+b^2=c^2。【证法2】以a、b为直角边,以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab/2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上,B、F、

2、C三点在一条直线上,C、G、D三点在一条直线上.∵RtΔHAE≌RtΔEBF,∴∠AHE=∠BEF.∵∠AEH+∠AHE=90º,∴∠AEH+∠BEF=90º.∴∠HEF=180º―90º=90º.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c^2.∵RtΔGDH≌RtΔHAE,∴∠HGD=∠EHA.∵∠HGD+∠GHD=90º,∴∠EHA+∠GHD=90º.又∵∠GHE=90º,∴∠DHA=90º+90º=180º.∴ABCD是一个边长为a+b的正方形,它的面积等于(a+b)^2.∴(a+b)^2=c^2

3、+4*(ab/2),∴a^2+b^2=c^2。此主题相关图片如下:【证法3】以a、b为直角边(b>a),以c为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab/2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵RtΔDAH≌RtΔABE,∴∠HDA=∠EAB.∵∠HAD+∠HAD=90º,∴∠EAB+∠HAD=90º,∴ABCD是一个边长为c的正方形,它的面积等于c^2.∵EF=FG=GH=HE=b―a,∠HEF=90º.∴EFGH是一个边长为b―a的正方形,它的面积等于(b-a)^2.∴(b-a)^2+4*(a

4、b/2)=c^2,∴a^2+b^2=c^2。此主题相关图片如下:【证法4】以a、b为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab/2.把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上.∵RtΔEAD≌RtΔCBE,∴∠ADE=∠BEC.∵∠AED+∠ADE=90º,∴∠AED+∠BEC=90º.∴∠DEC=180º―90º=90º.∴ΔDEC是一个等腰直角三角形,它的面积等于c^2/2.又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º,∴AD∥BC.∴ABCD是一个直角梯形,它的面

5、积等于(a+b)^2/2(a+b)^2/2=2*ab/2+c^2/2,∴a^2+b^2=c^2。此主题相关图片如下:【证法5】做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,∴∠EGF=∠BED,∵∠EGF+∠GEF=90°,∴∠BED+∠GEF=90°,∴∠BEG=180º―90º=90º.又∵AB=BE=EG=GA=c,∴ABEG是一个边长为c的

6、正方形.∴∠ABC+∠CBE=90º.∵RtΔABC≌RtΔEBD,∴∠ABC=∠EBD.∴∠EBD+∠CBE=90º.即∠CBD=90º.又∵∠BDE=90º,∠BCP=90º,BC=BD=a.∴BDPC是一个边长为a的正方形.同理,HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S,则a^2+b^2=S+2*ab/2c^2=S+2*ab/2∴a^2+b^2=c^2。此主题相关图片如下:【证法6】做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把

7、它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP∥BC,交AC于点P.过点B作BM⊥PQ,垂足为M;再过点F作FN⊥PQ,垂足为N.∵∠BCA=90º,QP∥BC,∴∠MPC=90º,∵BM⊥PQ,∴∠BMP=90º,∴BCPM是一个矩形,即∠MBC=90º.∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90º,∠ABC+∠MBA=∠MBC=90º,∴∠QBM=∠ABC,又∵∠BMP=90º,∠BCA=90º,BQ=BA=c,∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.从而将问题转化为【

8、证法4】(梅文鼎证明).此主题相关图片如下:【证法7】做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结BF、CD.过C作CL⊥DE,交AB于点M,交DE于点L.∵AF=AC,AB=AD,∠FAB=∠GAD,∴ΔFAB≌ΔGAD,∵ΔFAB的面积等于a^2/2,ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半,∴矩形AD

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