4个圆幂定理和其证明

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1、相交弦定理如图,⊙P中,弦AB,CD相交于点P,则AP·BP=CP·PD　　　　证明：连结AC，BD，由圆周角定理的推论，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB＝PC·PD　　注：其逆定理可作为证明圆的内接三角形的方法.　　PADCB切割线定理如图，ABT是⊙O的一条割线，TC是⊙O的一条切线，切点为C，则TC²=TA·TB证明：连接AC、BC∵弦切角∠TCB对弧BC，圆周角∠A对弧BC∴由弦切角定理，得∠TCB=∠A又∠ATC=∠BTC∴△ACT∽△CBT∴AT:CT=CT:BT,

2、也就是CT²=AT·BT弦切角定义：　　顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.　定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.(弦切角就是切线与弦所夹的角）弦切角定理证明　　证明：设圆心为O，连接OC，OB，OA。过点A作TP的平行线交BC于D，　　则∠TCB=∠CDA　　∵∠TCB=90-∠OCD　　∵∠BOC=180-2∠OCD　　∴,∠BOC=2∠TCB切线长定理　　从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的

3、夹角。　　如图中，切线长AC=AB。　　∵∠ABO=∠ACO=90°　　BO=CO=半径　　AO=AO公共边　　∴RtΔABO≌RtΔACO（HL）　　∴AB=AC　　∠AOB=∠AOC　　∠OAB=∠OAC割线定理如图，直线ABP和CDT是自点P引的⊙O的两条割线，则PA·PB=PC·PD证明:连接AD、BC∵∠A和∠C都对弧BD∴由圆周角定理，得∠A=∠C又∵∠APD=∠CPB∴△ADP∽△CBP∴AP:CP=DP:BP,也就是AP·BP=CP·DP圆幂定理圆幂定理是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它

4、们推论统一归纳的结果。　　相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。　　切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。　　割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·PD。　　统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。