巧用不动点求两类递推数列通项公式

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1、巧用不动点求两类递推数列的通项公式聂文喜若满足方程，则称是函数的一个不动点，利用不动点可将某些由递推关系所确定的数列转化为等差、等比数列。下面举例说明。结论1若，为的不动点，满足，则是公比为a的等比数列。证明：因为为的不动点，所以，所以，所以，所以数列是公比为a的等比数列。例1.（2005年高考·北京卷）设数列的首项，且。记。判断是否为等比数列。解：。令，求出不动点，由结论1得：数列是公比为的等比数列。故是首项为，公比为的等比数列。例2.（2005年高考·山东卷）已知数列的首项为，前n项和为，且，求的通项公式。解：由已知，得当时，

2、，两式相减得当时，，即，也即又，所以，从而＋1，故对成立。令，求出不动点。由结论1得：数列{}是公比为2的等比数列，所以＝，故。结论2设，数列满足，且。（1）若有两个相异不动点，则数列是公比为的等比数列；（2）若只有唯一不动点，则数列是等差数列。证明：（1）因为由题设知。同理。所以所以数列是公比为的等比数列。（2）因为为的唯一不动点，所以＝x，即有唯一解，所以且＝。所以，所以数列是公差为的等差数列。例3.（2005年高考·重庆卷）设数列满足（），且。求数列的通项公式及数列的前n项和。解：由已知得，由方程，求出不动点，。于是，所以数

3、列是公比为的等比数列所以，解得故数列的前n项和为例4.已知数列满足。解：由方程，求出唯一不动点，于是，所以数列是公差为的等差数列。所以解得。