数学奥赛辅导不定方程

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1、智浪教育--普惠英才文库数学奥赛辅导第四讲不定方程不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数的取值范围是受某些限制（如整数、正整数或有理数）的方程.不定方程是数论的一个重要课题，也是一个非常困难和复杂的课题.1．几类不定方程（1）一次不定方程在不定方程和不定方程组中，最简单的不定方程是整系数方程通常称之为二元一次不定方程.一次不定方程解的情况有如下定理.定理一：二元一次不定方程为整数.有整数解的充分必要条件是.定理二：若为①之一解，则方程①全部解为.（t为整数）。（2）沛尔方程形如（，不是完全平方数）的方程称为沛尔方程.能够证明它一

2、定有无穷多组正整数解；又设为该方程的正整数解中使最小的解，则其的全部正整数解由（）给出.①只要有解，就可以由通解公式给出方程的无穷多组解.②满足的关系：；，（3）勾股方程这里只讨论勾股方程的正整数解，只需讨论满足的解，此时易知实际上两两互素.这种两两互素的正整数解称为方程的本原解，也称为本原的勾股数。容易看出一奇一偶，无妨设为偶数，下面的结果勾股方程的全部本原解通解公式。定理三：方程满足，的全部正整数解可表为，其中，是满足一奇一偶，且智浪教育--普惠英才文库的任意整数.4．不定方程这是个四元二次方程，此方程也有不少用处，其全部正整数解极易

3、求出：设，则，其中，故，所以.因此方程的正整数解可表示为都是正整数，且.反过来，易知上述给出的都是解.也可采用如下便于记忆的推导：设是既约分数，即.由于约分后得出，故，同理2．不定方程一般的求解方法1．奇偶分析法；2．特殊模法；3．不等式法；4．换元法；5．因式分解法6．构造法（构造出符合要求的特解或一个求解的递推关系，证明解无数个）7．无穷递降法由于不定方程的种类和形式的多样性，其解法也是多种的，上面仅是常用的一般方法.注：对无穷递降法的理解：以下面的问题为例：证明：方程无正整数解。证明：假设存在正整数解，其中最小的解记为。因为，根据勾

4、股方程的通解公式有，其中一奇一偶，。从可以得到为奇数，为偶数，令，，其中，所以。由得，即，又可以通过勾股方程的通解公式，注意到，所以，，而，与的最小性矛盾。所以原方程组无正整数解。智浪教育--普惠英才文库赛题精讲例1．（1）求不定方程的所有解；（2）求不定方程的所有解。解析：（1）可以由辗转相除法得到，其实根据该方法可以得到必存在整数，使得。如，依次反代即可得到一个特解。（2），可以取，此时可以得到。从而得到一个特解。注：这个两个方法是基本方法。例2．求所有满足方程的正整数解解析：首先从同余的角度可以发现必须为偶数，，又的个位数必须为5，

5、而的个位数为2，4，或6，的个位数为3，9，1，所以，对应的。这样可以令，，可以得到，注意到均为奇数，两个的和和差必定是一个单偶，一个双偶，从而，目标集中于，观察有解。当时，两边取模17可以得到矛盾。所以仅有解例3．为给定的一个整数，当为何值时，方程有正整数解？有正整数解时，求这个不定方程。解：可以变形为，这样，一个明确的事实，从而。这样我们得到。不妨假设两种情况。（1），从这个代数式发现，，对智浪教育--普惠英才文库单独讨论，有，，这种情况共有解：；，注意到*式的等价性，又有解（2）将等式转化为不等式，从同余的角度看有，所以，若，则，只

6、能是。注意到*式的等价性，又有解综上，可以有，对应的解分别为共9组解。例4．证明：不定方程无整数解解析：给我们的第一个印象是同为奇数或同为偶数。若同为偶数，则也就是，进一步有为奇数，因为奇数的平方模8余1，矛盾。若同为奇数，则需进一步讨论，关键是取模为多少比较好讨论。结合费马小定理如，则，从而，但是。比较两者我们就可以到相应的结论例5．求证：存在无数组解且每个解都大于2009。证明：观察有特解。从原方程可以得到。这说明从一组解可以得到另一组解。由于方程结构的对称性，不妨假设，则智浪教育--普惠英才文库，主要是证明，这是因为。不断依次类推就

7、可得到结论。例6．（普特南竞赛题）求方程的整数解，其中是质数，是大于1的正整数，并证明你所得到的解是全部解.解析：容易看到两个质数中肯定有一个为2，不妨假设，，即。若，从余数去讨论，，为奇数。，所以，，提取公因数，有，从奇偶性可以看出这种情形方程无解。为偶数，注意到。，，令，，观察最后两项，只能，，，从而综上，考察到对称性，原方程恰有两组解：例8．（09湖北）求不定方程的正整数解的组数．解令，，，则．先考虑不定方程满足的正整数解．，，．当时，有，此方程满足的正整数解为．当时，有，此方程满足的正整数解为．智浪教育--普惠英才文库所以不定方程

8、满足的正整数解为．又方程的正整数解的组数为，方程的正整数解的组数为，故由分步计数原理知，原不定方程的正整数解的组数为．例8．（09巴尔干）求方程的正整数解。解析：首先，，从而，为偶数。方程可以