函数零点的综合性的应用

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1、高中数学函数零点的综合应用编稿老师王东一校张小雯二校黄楠审核孙溢【考点精讲】二次函数零点分布：设（a）二次方程的两个根满足函数两个零点为满足（b）方程的两个根满足二次函数两个零点满足（c）第7页版权所有不得复制（d）二次方程的两个根满足函数的零点满足（e）二次方程的两个根有且只有一个根在（p，q）内函数的两个零点有且只有一个在区间（p，q）内或检验f（p）=0，f（q）=0并检验另一根在（p，q）内。【典例精析】例题1已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0。（1）若方程有两根，其中一根在区间（－1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的范围；（

2、2）若方程两根均在区间（0，1）内，求m的范围。思路导航：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制。答案：（1）由条件，抛物线f（x）＝x2＋2mx＋2m＋1与x轴的交点分别在区间（－1，0）和（1，2）内，如图（1）所示，得第7页版权所有不得复制即－＜m＜－。（2）抛物线与x轴交点均落在区间（0，1）内，如图（2）所示，列不等式组⇒即－＜m≤1－。例题2对实数a和b，定义运算“”：ab＝设函数f（x）＝（x2－2）（x－1），x∈R。若函数y＝f（x）－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）A.（－1，1]∪（

3、2，＋∞）B.（－2，－1]∪（1，2]C.（－∞，－2）∪（1，2]D.[－2，－1]思路导航：当（x2－2）－（x－1）≤1时，－1≤x≤2，所以f（x）＝f（x）的图象如图所示。第7页版权所有不得复制y＝f（x）－c的图象与x轴恰有两个公共点，即方程f（x）＝c恰有两个解，由图象可知当c∈（－2，－1]∪（1，2]时满足条件。答案：B点评：转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合法求解。例题3已知关于x的函数y=（m+6）x2+2（m-1）x+m+1恒有零点．（1）求m的范围；（2）若函数有两个不同零点，且其倒数之和为-4，求m的值．思路导航:（1

4、）当m+6=0时，即m=-6时，满足条件．当m+6≠0时，由≥0求得m≤且m≠-6．综合可得m的范围．（2）设x1，x2是函数的两个零点，由条件并利用一元二次方程根与系数的关系求得m的值．答案：：（1）当m+6=0时，m=-6，函数为y=-14x-5显然有零点．当m+6≠0时，m≠-6，由△=4（m-1）2-4（m+6）（m+1）=-36m-20≥0，得m≤．∴当m≤且m≠-6时，二次函数有零点．综上可得，m≤，即m的范围为（-∞，]．（2）设x1，x2是函数的两个零点，则有x1+x2=，x1x2=．∵=-4，即=-4，∴=-4，解得m=-3．且当m=-

5、3时，m+6≠0，△＞0，符合题意，∴m的值为-3．点评：本题主要考查函数的零点的定义，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想。【总结提升】1.一元二次方程根的讨论在高中数学中应用广泛，求解此类问题常有三种途径：第7页版权所有不得复制（1）利用求根公式；（2）利用二次函数的图象；（3）利用根与系数的关系。无论利用哪种方法，根的判别式都不容忽视，只是由于二次函数图象的不间断性，有些问题中的判别式已隐含在问题的处理之中。（答题时间：20分钟）1.若函数y=x2+（m－2）x+（5－m）有2个大于2的零点，则m的取值范围是（）A.（－5，－4）B.（－∞，－

6、4）C.（－∞，－2）D.（－∞，－5）∪（－5，－4）2.关于x的方程x2+px+2=0一根大于2，一根小于2，则p的取值范围是______________。3.若函数f（x）=2（m+1）x2－1与函数g（x）=4mx－2m有两个交点，则m的取值范围是_________。4.已知函数f（x）=ax3－2ax+3a－4在区间（－1，1）上有一个零点，求实数a的取值范围。5.关于x的二次方程x2+（m－1）x+1=0在区间［0，2］上有解。求实数m的取值范围。6.已知关于x的方程3x2－5x+a=0的一根大于－2而小于0，另一根大于1而小于3，求实数a的

7、取值范围。7.关于x的实系数方程x2－ax+2b=0的一根在区间[0，1]上，另一根在区间[1，2]上，求2a+3b的最大值。第7页版权所有不得复制1.A解析：，－5＜m＜－4。2.p＜－3解析：设f（x）=x2+px+2。由条件得f（2）＜0，且△>0，即6+2p＜0。且p2－8>0解得：p<－3。3.m＜1解析：由条件得方程2（m+1）x2－1=4mx－2m有两个不等的实数根。即2（m+1）x2－4mx+2m－1=0，有两个不等的实数根，即16m2－8（m+1）（2m－1）＞0，解得m＜1。4.解：当a=0时，f（x）=－4，与题意不符。故a≠0。f

8、（1）=2a－4，f（－1）=4a－4。∵f（x）在（－1，1）上有零点，∴f（