《概率论与随机过程》课程自学内容

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1、上海大学2015〜2016学年秋季学期本科生课程自学报告课程名称：《概率论与随机过程》课程编号:07275061题目：学生姓名：王文良学号：13124562评语：成绩：任课教师：王春华评阅日期：概率论与随机过程内容小结与专题应用范例书面报告2015-10-24摘要：木报告主耍是对随机变景的特征函数、随机序列及其统计特性、随机序列的功率谱密度、随机序列通过离敗线性系统共计四项内容的知识点的总结，并以其中的随机变虽的特征函数为例，來介绍并分析其中涉及到的理论与原理一、自学内容小结1.随机变量的特征函数1.1一维特征函数：随机过程X(t)在任一特定时刻t的収值是

2、一维随机变量，其特征函数力:Cx(m;o=E(etuXo))=refx{xt)dx其反变换为:/x(f)=cdu27Tj—=E[exp(ju}X(/,)+••-+jit1.2n维特征函数：J(G,))]，•¥”；/,，•••，tn)dx…dxZv(Xl，..(2^)n，“…“J々“*…2.随机序列及其统计特性2.1随机序列的均值与自相关函数：&=E[2L]=lwX

3、，wX2，…，JT%=R(i，j)=ElXz.xJ=E[X.X,.J=R(j，i)2.2随机序列的自相关矩阵：Rx=e

4、xxt]=r..r21•••7：vi^1222•••rN2…rN…r

5、2N••參參鲁番…rNN■2.3随机序列的协方差矩阵：Co=EL(X/-tn>:<)(X.-wx.)J=CCx=e[(X-Mx)(X-Mx,/]=C21C22•♦•*畴••••CN…C2Ar••*♦•參FTRXF>0中cA=Rx-MxMxT3.随机序列的功率谱密度功率谱密度可定义为自相关函数fS^nCN2…CNN^W傅里叶变换：GJft随机过程中我们学习到功率谱密度是随机过程X(t)在单位频带内在电阻上消耗的平均功率，在平稳随机过程丁，时间平均自相关函数与功率谱密度为傅里叶变换对。对比随机序列的功率谱密度也可以表示为自相关函数的傅里叶变换，但要注意的是

6、随机序列是在时间上离散取值，从而其自相关函数也是时间离散点上定义的，随机序列的功率谱密度也同样具有非负性以及是实偶函数等性质。4.随机序列通过离散线性系统即研宄随机序列通过典型的数字滤波器后其自相关函数与功率谱的变化。同随机序列通过线性系统一样，得到的序列y(n)可以表示为序列x(n)与离散线性系统h(n)的卷积，且若输入序列是平稳的，输出序列也是平稳的，其均值等于mx*H(0)，功率谱密度Gy(o>)=

7、H(^)

8、2*Gx(o)，这些性质与通过线性系统是一样的。二、专题应用范例功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值一频率值

9、的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。功率谱密度从物理意义上来讲就是单位频率内的信号能量，我们知道在时域屮功率=功/时间，那么在频域中功率=功/频率，功率谱密度曲线下面的面积就是这个信号的总能量，而信号的总能量是对所有幅值求平方和。定义长度为T的能ft信号s(t),其傅里叶变换存在II为S(f)，贝1J:K卜M分这公式的本质是信号在频域和时域的能量相等。注意到频域那边的积分区间是R,所以包括正负频率，故称双边功率谱密度。但实际信号是不存在负频率的，而能量守恒，所以分析实信号的时候要把负频率那边

10、的功率折到正频率，所以单边功率谱密度是双边功率谱密度的两倍。实际信号自然都是实信号，通常在数学角度分析比如高斯白噪声会用到双边，但物理并不存在负频率，只能测山单边谱，一般说的功率谱密度不特意指出都是单边的，通常情况下，如要进行数学分析，用双边;实验测量，用单边。功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度伉一频率伉的关系曲线，其屮功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。数学上，功率谱密度值一频率值的关系曲线下的面积就是均方值，当均值为零时均方值等于方差，即响应标准偏差的平方值。参考文献［

11、11概率论与数理统计(第4版)盛骤12］概率论与数理统计陈希孺

12、3］概率论基础教程(第8版)罗斯、郑忠国译［4］概率统计(英文版第4版)德格鲁特、舍维什［5］概率、统计与随机过程(第4版)(英文版)亨利斯塔克(HenryStark)、