有趣 “黄金分割”

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1、有趣的“黄金分割”江苏唐耀庭ABCD图（1）我们已经知道，如果线段AB被点C分成线段AC和BC，且，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。通过计算可知黄金比为。下面我们在从数学的角度看一看“黄金分割”的几个有趣的结论．（1）对称性：我们可以得出，如果线段AB上另有一点D，满足BD=BA·AD，那么D点也是AB的黄金分点，因此，一条线段的黄金分割点应该有两个：其中一个靠近这个端点，而另一个靠近另一个端点．（2）有趣的数量关系设C、D为线段AB的黄金分割点，AB长为a（如图1），则不难由定义证明（设C点靠近B点）：；B

2、C=AD=；CD=；仅以上面二式为例加以证明：BC=AD====．（3）有趣的比例关系式如前面的图（1）所示，有≈0.618．再由定义可以知道，点C不仅是AB的黄金分割点，还是BD的黄金分割点，同样，点D不仅是AB的黄金分割点，也是AC的黄金分割点。将上式分子、分母颠倒后又得到：≈0.618．由此，又可以得到一个有趣的结论：0.618与1.618可近似地看成倒数关系，也就是说，方程x(1+x)=1的正的近似解约是0.618，而方程x（x－1）=1的正的近似解约是1.618．（4）“黄金角度”生物学家发现植物种类繁多、叶子形态各异，但是叶子在茎上的排列却有着特殊的

3、规律.我们从某种植物的顶端往下看，便会发现上下层相邻的两片叶子之间所构成的角约为137.50,如果每层叶子只画一片来表示，第一层和第二层的相邻两叶之间的角度约为137.50,以后二层到三层、三层到四层、四层到五层……两叶之间都成这个角度，这个角度对叶子的通风和采光最为有利.这叶子之间的137.50角与黄金数又有什么联系呢？我们知道，一周为3600，137.50：=137.50：222.50≈0.618.也就是说，各种植物叶子的生长规律中自然隐藏着黄金数.（5）黄金三角形顶角为36的等腰三角形叫黄金三角形．其底与腰之比为黄金数，底角平分线与腰的交点为腰的黄金分割点

4、．如图（2），△ABC中，∠A=36，AB=AC，∠ACB的平分线CD交腰AB于D，则BC=DC=AD，且△ABC～△CBD，∴.即AD=BD·AB，∴AD=BC=AB．再作∠B的平分线交CD于，作∠BDC的平分线交于，得到△、△，均为黄金三角形，如此下去则可得到一系列的黄金三角形．DABCDD图（2）ABDEPNMRCQ图（3）感兴趣的同学，利用上述结论解决下列问题：①找出五角星中所有的黄金分割点和黄金三角形．（如图3）（有五个黄金分割点P、Q、R、M、N和２０个黄金三角形）．②可以巧用“黄金比”妙画五角星③若上图的第一个黄金三角形的腰，底边与腰之比为,第二个

5、黄金三角形为，依次类推，第2008个黄金三角形的周长为多少？(∵,∴的周长为；的周长为；的周长为；…依次类推，第2008个黄金三角形的周长为对于顶角为108°等腰三角形又可称之为“亚黄金三角形”,它在分割出黄金三角形后也能无数次的分割得到新的等腰三角形。（6）黄金矩形一个矩形如果两边之比具有黄金比值，则称这种矩形为黄金矩形．它是由一个正方形和另一个小黄金矩形组成。事实上，如图（4），如果设大黄金矩形的两边为a、b，则=，分出一个正方形后，所余小矩形的两边分别为（b－a）和a，它们的比为（b－a）：a图（4）b－aba=－1=．这表明小的矩形也是黄金矩形。上述黄金

6、矩形的性质说明:①黄金矩形中，以短边为一边作正方形后得到的另一矩形，都是黄金矩形或以短边为一边作正方形后得到的另一矩形，都是相似矩形，相似比为②可以把一个黄金矩形分解为无限个正方形之和，图（4）也表明了分解过程．（7）“黄金分割线”类似“黄金分割”得定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为，，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线．问题1：①在中，若点为边上的黄金分割点（如图5），则直线是的黄金分割线．②过点任作一条直线交于点，再过点作直线，交于点，连接（如图6），则直线也是的黄金分割线．ADB图5CADB图6CFE分析过程：①直线是的黄金分割

7、线．理由如下：　　　设的边上的高为．　　∵　,∴　　∴．　　　∴直线是的黄金分割线．　　　②因为，所以和的公共边上的高也相等，所以有．　设直线与交于点．所以．　所以　，．　又因为，所以．　因此，直线也是的黄金分割线．问题2：）如图7，点E是□ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF//AD，交DC于点F，显然直线EF是□ABCD的黄金分割线．请你画一条ABCD的黄金分割线，使它不经过□ABCD各边黄金分割点．分析过程：画法不惟一，现提供两种画法；画法一：如图5，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是□ABCD的黄金分割线．

8、画法二：如图6，在DF上