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1、ComputerGraphics:四元數與旋轉在討論「四元數」之前，我們來想想對三維直角座標而言，在物體旋轉會有何影響，可以擴充三維直角座標系統的旋轉為三角度系統（Three-anglesystem），在GameProgrammingGems中有提供這麼一段：Quaternionsdonotsufferfromgimballock.Withathree-angle(roll,pitch,yaw)system,therearealwayscertainorientationsinwhichthereisnos
2、implechangetothetrheevaluestorepresentasimplelocalroation.Youoftenseethisrotationhaving"pitchedup"90degreewhenyouaretryingtospecifyalocalyawforright.簡單的說，三角度系統無法表現任意軸的旋轉，只要一開始旋轉，物體本身即失去對任意軸的自主性。四元數（Quaternions）為數學家Hamilton於1843年所創造的，您可能學過的是複數，例如：a+bi這樣的數，其
3、中i*i=-1，Hamilton創造了三維的複數，其形式為w+xi+yj+zk，其中i、j、k的關係如下：i2=j2=k2=-1i*j=k=-j*ij*k=i=-k*jk*i=j=-i*k假設有兩個四元數：q1=w1+x1i+y1j+z1kq2=w2+x2i+y2j+z2k四元數的加法定義如下：q1+q2=(w1+w2)+(x1+x2)i+(y1+y2)j+(z1+z2)k四元數的乘法定義如下，利用簡單的分配律就是了：q1*q2=(w1*w2-x1*x2-y1*y2-z1*z2)+(w1*x2+x1*w2+
4、y1*z2-z1*y2)i+(w1*y2-x1*z2+y1*w2+z1*x1)j+(w1*z2+x1*y2-y1*x2+z1*w2)k由於q=w+xi+yj+zk中可以分為純量w與向量xi+yj+zk，所以為了方便表示，將q表示為(S,V)，其中S表示純量w，V表示向量xi+yj+zk，所以四元數乘法又可以表示為：q1*q2=(S1+V1)*(S2+V2)=S1*S2-V1.V2+V1XV2+S1*V2+S2*V1其中V1.V2表示向量內積，V1XV2表示向量外積。定義四元數q=w+xi+yj+ｚk的nor
5、m為：N(q)=
6、q
7、=x2+y2+z2+w2滿足N(q)=1的四元數集合，稱之為單位四元數（Unitquaternions）。定義四元數定義四元數q=w+xi+yj+ｚk的共軛（Conjugate）為：q*=定義四元數q=w-xi-yj-ｚk=[S-V]定義四元數的倒數為：1/q=q*/N(q)說明了一些數學，您所關心的或許是，四元數與旋轉究竟有何關係，假設有一任意旋轉軸的向量A(Xa,Ya,Za)與一旋轉角度θ，如下圖所示：可以將之轉換為四元數：x=s*Xay=s*Xbz=s*Xcw=cos(θ/2)s
8、=sin(θ/2)所以使用四元數來表示的好處是：我們可以簡單的取出旋轉軸與旋轉角度。在这里，我将自己加一个上面公式的反推导，我们将根据四元数求我们用于旋转它的向量A(Xa,Ya,Za)。公式如下：θ=acos(w)*2s=sin(θ/2)Xa=x/sXb=y/sXc=c/s这个公式在编程当中也很有用，至于有什么用，偶现在还不清楚。那麼四元數如何表示三維空間的任意軸旋轉？假設有一向量P(X,Y,Z)對著一單位四元數q作旋轉，則將P視為無純量的四元數Xi+Yj+Zk，則向量的旋轉經導證如下：Rot(P)=qpq
9、*四元數具有純量與向量，為了計算方便，將之以矩陣的方式來表現四元數的乘法，假設將四元數表示如下：q=[w,x,y,z]=[S,V]兩個四元數相乘q"=q*q'的矩陣表示法如下所示：若令q=[S,V]=[cosθ,u*sinθ]，其中u為單位向量，而令q'=[S',V']為一四元數，則經過導證，可以得出q*q'*q^(-1)會使得q'繞著u軸旋轉2θ。由四元數的矩陣乘法與四元數的旋轉，可以導證出上面的旋轉公式可以使用以下的矩陣乘法來達成：講了這麼多，其實就是要引出上面這個矩陣乘法，也就是說如果您要讓向量(x'
10、,y',z')（w'為0）對某個單位向量軸u(x,y,z)旋轉角度2θ，則w=cosθ，代入以上的矩陣乘法，即可得旋轉後的(x",y",z")，如果為了方便，轉換矩陣的最下列與最右行會省略不寫出來，而如下所示：關於四元數的其它說明，您可以參考向量外積與四元數這篇文章。關於旋轉的轉換矩陣導證，在GameProgrammingGems第二章有詳細的說明。
