2013年线性代数强化班课后题答案

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1、2013年线性代数考研辅导课后题答案清华何坚勇2012-6-21第一章课后题答案题1.1－13。x3有两项：及题1.2提示：方程式左边的行列式是范得蒙特行列式的转置题1.354。题1.4。题1.5选（C）。利用行列式的性质。题1.6选（B）。题1.7选（A）。利用及，。题1.8。提示：将第1行的(-1)倍加到其它各行上。题1.9D=0。提示：D是一个三阶反对称行列式，故有，再利用。本题结论可推广：奇数阶反对称行列式的值必为0。题1.10。提示：本题是利用特征值计算行列式的值的一个典型例子。由已知条件可知：A的特征值为：，∴。∴A*的特征值为。矩阵

2、的特征值为：1，－3，－４。题1.11提示：由罗尔定理，只要证：f(0)=f(1)即可。第二章课后题答案题2.1B=3；题2.2，100题2.3，提示：记利用分块矩阵求逆公式。题2.4提示：由，推得：，题2.5提示：，。题2.6选（C）。为正交矩阵是可逆的充分条件，不是必要条件。故（A）错，同理（D）也错。而，是可逆的必要条件，不是充分条件，如，但不可逆，（B）错；若可逆，则由；反之若对于当，即有时，都有，即等于零，则说明作方程组时，只有零解，故，即可逆。题2.7选（B）。因为，而B是由的第1，3行交换后，再将第3列的k倍加到第2列得到的，因此。

3、题2.8选（D）。提示：。题2.9选（C）。因为B是可逆矩阵，因此。题2.10选（D）100题2.11记题2.12由题2.13（1）充分性：当时，。必要性：若，又，。（2）当时，用反证法，若可逆，则有。又已知，故有，这与矛盾（因为若记，则由可推出即。因此不可逆。题2.14题2.15证不可逆，只要证，因，，又，即有，不可逆。评注：将A，B写成IA，BI，以及再利用本题条件是常用的方法。题2.16，因此可逆，且。100题2.17因为，因此只能用求解方程组的方法来求X，记写成方程组：及解之得：故，其中k1，k2为任意常数。题2.18题2.19解：首先要

4、找出与的关系，有两种思路：（一）由题中与的关系可知：将的第二列的一倍加到第一列上即为：因此用初等变换有：，即：；（二）由题可看出的列向量组可由的列向量组线性表出：因此有：，也即有：。再代入计算：，其中：100记代入已知矩阵有：。选（B）。第三章课后题答案题3.14题3.22题3.3选（A）题3.4选（D）。题3.5选（C）。由重要结论中的3“全体无关，部分必无关”。题3.6选（A）。的行秩，故的行向量组有必有r个线性无关。题3.7选（C）。用排除法，对于（A）：；对于（B）：；对于（D）：，因此（A），（B），（D）中向量组都线性相关。题3.8秩

5、为3。是它的一个极大无关组，。题3.9（1）当a=5，时，不能由线性表出。（2）当，b为任意数时，可由唯一线性表出：。（3）当a=5，b=－3时，可由无穷多种表出：。K为任意值。题3.10用定义，考察若成立（1），将用代入（1）得：（2），由线性无关。100题3.11。提示：考察：若成立（1）。则有：(2)，因为线性无关。有（3），故时，（3）式只有零解：。。题3.12证明：从中任取出s个向量：。用反证法，若其线性相关。因为线性无关。故可由其线性表出：即用线性表出的系数中出现了零系数（），而由重要结论8：无关，可由表出，则其表出系数是唯一的。现与

6、的表出系数全不为0相矛盾，因此必线性无关。题3.13提示：因,线性相关，设，则。题3.14提示：先正交化得：，再单位化：。题3.15解：，可知，a=6.第四章课后题答案题4.1a=－1。题4.2通解为。题4.3。提示：方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）只有第3个方程中的系数不同，在（Ⅰ100）的全部解中只有当的那个特解也必定满足（Ⅱ），故令，代入（Ⅰ）的解中求之。题4.4。题4.5。提示：因为有两个解，故，又A中有一个二阶子式，即，因此，，即导出组的基础解系中有1个解向量：。本题如果想用来求是不好作的。题4.6。提示：，，又。题4.7选（A）。提示：线性无关，

7、因此，n=3，故，而（B），（C）中矩阵秩为2,（D）中矩阵秩为3，故选（A）；或将代入各矩阵中验证：。题4.8选（C）。因为A为4×5矩阵，为4×6矩阵，而，必有，即，故①正确，②错误。而中的行向量是矩阵A中行向量的加长组，由“无关组的加长组必无关”，知③正确，而，故④也正确。题4.9选（C）。A为m×n，故AX=0有非零解，记A的列向量组为；行向量组为，则线性相关至少有一个列向量可由其余向量线性表出。题4.10选（D）。因，故，因此（B）错。又，故线性相关，故（A）错。又，将代入得：线性相关，故（C）错。因此（D）正确。必线性无关，可用反证法

8、，若线性相关。则，（因为线性相关）。又线性相关，故，这与矛盾，因此必线性无关。题4.11（1）：提示：，又，故，求得。100（2）：提示