数学：第三章《数系扩充与复数引入》素材(3)(新人教a版选修2-2)

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1、数系的扩充与复数的引入复习指导『教材重点』：１．复数的相等，复数与实数以及虚数的关系，复数的几何意义；２．复数的加减、乘除运算法则，以及复数加法、减法的几何意义；３．体会数学思想方法－类比法．　　　　　『教材难点』：复数的几何意义，复数加法以及复数减法的几何意义，复数的除法．　『复习过程指导』在复习本章时，我们重点从数学思想方法上勾通知识的内在联系：(1)复数与实数、有理数的联系；（2）复数的代数形式的加法、减法运算与平面向量的加法、减法运算的联系；（3）复数的代数形式的加法、减法、乘法运算与多项式的加法、减法、乘法运算的联系．在知识上，在学法上，在思想

2、方法上要使知识形成网络，以增强记忆，培养自己的数学逻辑思维能力．其数学思想方法（类比法、化一般为特殊法）网络如下：　　　　　多项式运算类比复数转化运算　类比向量运算实数运算类比数轴上向量运算转化有理数运算　　　一．数学思想方法总结1数学思想方法之一：类比法　（1）复数的运算复数代数形式的加法、减法运算法则　　　　　　复数代数形式的乘法运算运算法则：　　　　　　显然在运算法则上类似于多项式的加减法（合并同类项），以及多项式的乘法，这就给我们对复数的运算以及记忆带来了极大的方便．（2）复数的几何意义我们知道，实数与数轴上的点一一对应的；有序实数对与直角坐标平

3、面内的点一一对应；类似的我们有：复数集C＝与坐标系中的点集一一对应．于是：复数集＝复平面内的点　　　　　　复数集＝平面向量-5-www.ks5u.com高考资源网例1（2005高考浙江4）．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于　()(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限解答：复数＋(1＋i)2＝　　　＝因为复数对应着直角坐标平面内的点，　　　　　故在第二象限，答案为B．　　　　此题一方面考查了复数的运算能力，另一方面考察了对复数的几何意义的理解．例2．非零复数分别对应复平面内向量，若=则向量与的关系必有（）A．=B．C．D．共线图

4、１ABC解答：由向量的加法及减法可知：　　　　　＝　　　　　　　＝　　　　由复数加法以及减法的几何意义可知：　对应的模　对应的模　　　　　　又因为=，且非零复数分别对应复平面内向量　　　　　　　所以四边形OACB是正方形　　　　　　因此，故答案选B．　　注：此题主要考察了复数加法以及减法的几何意义（3）复数的化简虚数除法运算的分母“实数化”，类似的有实数运算的分母“有理化”．例３（2005高考天津卷理(2)）若复数（∈-5-R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（A）-2　　(B)4　　(C)-6　(D)6解答：由＝＝＝　　因为复数是纯虚数　　　　所以

5、且　　　　解得　　　　故答案选C．　　注：这里在复数的化简中主要用了一对共轭复数的积是实数＝５，一般地（）（）＝　　这也是一个复数与实数转化的过程，即是纯虚数可得：且，2．数学思想方法之二　　转化法　　　　　我们知道在运算上，高次方程要转化为低次方程，多元方程要转化为一元方程进行运算；实数的运算要转化为有理数的运算；类似地，有关虚数的运算要转化为实数的运算．　　　　　基础知识：复数例４（2005高考北京卷（9））若,，且为纯虚数，则实数a的值为．　解答：＝＝因为为纯虚数所以且．解得　　　例５．（2005高考，吉林、黑龙江、广西（５））设、、、，若为实数，

6、则，-5-（A）（B）（C）（D）　解答：　由　　　　　因为为实数，　　　所以其虚部，即　　　故答案选C．这里先把分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式．类似于以前所学的实数化简时的把分母“有理化”．再把它转化为实数的运算．　　二．解题规律总结　　　１有关虚数单位的运算及拓展虚数的乘方及其规律：，＝－１，，，……（）拓展（1）任何相邻四个数的和为０；　　（2）指数成等差的四个数的和为０；　例如：＝０　　　　　　　　（3）连续多个数相加的规律．　　　　　　　　例6．求…的值　　　　　解答：共有2006－10＋１＝１997项　　　　　　由于

7、1997＝4499＋1　　　　　　由于连续4个的和等于0　　　　　　因此原式＝＝－1　2．有关复数的几个常用化简式，，例7（2005高考重庆2）．　　　　（　　）A．　　B．－　　C．　　D．－　　　解答：　　　　　故答案选A　　　　　　3．有关复数的综合运算　　　　　例７（2005高考上海18）、（本题满分12分）在复数范围内解方程（为虚数单位）-5-　　解法一．设，则　　　由于　　　＝＝所以＝　　　根据复数的相等得　　　解得　　　因此，即为所求．　　　　　　　解题评注：（1）设复数的代数形式（）以代入法解题的一种基本而常用的方法；（2）复数的相等（＝

8、　　）是实现复数运算转化为实数运算的重要方法．这两种方法必须切实掌握；