电子模拟反弹球

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1、电子模拟反弹球内容:本文讨论了反弹球的力学系统,建立了相应的电子模拟实验,从中可观测到反弹球的多种动力学行为。　　关键词:反弹球,电子模拟,相图,混沌。　　:O4-39:A　　　　一、导言　　　　非线性系统中存在分岔与混沌现象日益为人们所关注,成为理论与实验研究的热点。从线性系统到非线性电路,近代科学家进行了卓有成效的研究,然而,由于在非线性系统中动力学行为的复杂性,使得对它的观测较为困难,所以人们一直在寻求进行观测的有效方法。反弹球,是一个简单的动力学系统,能呈现显著的复杂行为。反弹球是一维变量,二参数的牛顿方程重力系统。　　实验方面,我们根据电路中电量

2、与力学量的相似性,设计了一个电子模拟反弹球动力实验电路,该电路在不同的电路参数下给出各种弹球运动的动力学行为。用三个运算放大器组成单元电路,通过整流器进行电流反馈,所有的信号都是电信号,数据的采集与分析变得很简单,不像以往的力学实验,解调系统是固定不变的。采用电子模拟可有效地解决上述问题。运用反弹球电子模拟系统,可从中观测到反弹球的多种动力学行为。从自由落体,弹性与非弹性碰撞以及从分岔到混沌等各种现象,给出了观测结果。允许学生在系统的空间参数的广阔范围里开发实验,用一个示波器或EΩ,可以选择电压为了球的位置在示波器上显示Vb,是台面的位置(-VT),或球的

3、速度(-VC)　　在本实验中,当二极管反偏时,电子模拟自由下落;当导通时碰撞,在与台面碰撞期间,球经受一个比它在下落期间所受的重力还要大的反向力,这个电路也模拟了一个第三状态。　　a=(1-K)/(1+K)在这上状态期间,球必须来到和台面保持久的接触。　　于是,对于负恒定电流i方程(7)的抛物线的解,描述了在恒定重力场g中,由时间所决定的自由落体的位置的模拟。该无反馈电路很早被用于模拟计算导弹学中火箭在靶上碰撞的时间和位置。　　B.碰撞　　当“二极管”导通时,电容C上被Va正向充电,Vc反转,在很短时间里电荷变换到C2上,因而Vc和Va固定时反转,小球反弹

4、,在反馈环中无耗散元件,碰撞和抛物线自由下落无限重复,因此恢复系数是1。一个电阻Rf与整流器串联限制反馈电流。同时,表示球和桌面之间的完全弹性碰撞,那里一个或一对是可变形的,接触时间间隔/ω0=(RfCR2C2)1/2　　这里,ω0是电路的固有频率,反馈电路中阻抗可认为刚好是Rf　　在Rf=0时,接触的持续时间消失,代替它的是整流器的正向动态电阻。在力学实验中,桌面的位置由于正好对反弹球供给能量而改变,类似于一个变化电压。VT(t)=VOTCOSωt在S2点加到输出电压Va(图一)对电路供给能量。即R2C2Va(t)=∫VC(t)dt同时改变方程(6),在

5、接触期间的耗散,是由与电阻Rf并联的电容Cf来实现的。幅度仍然是完美的抛物线,但是在接触期间,半个正弦波波表示相位上移和衰减,好象恢复系数小于1一样。因此这个电路具有球在一个振动着的桌面上反弹的所以方面的模拟。也就是说,自由下落,耗散或弹性碰撞以及与活动台面的能量交换。在接触期间,当Va变为正时,整流器导通,电流i的相反方向被用来模拟向下的重力。　　方程(6)和(7)变为　　C×dVC/dt=-Va/Rf-Cf×dVa/dt-i(10)　　R2C2Va(t)=∫VC(t’)dt’-R2C2VT(t)(11)　　这里,Vc仍然是模拟球的速度Va(t)和dVa

6、/dt分别代表模拟球相对于桌面的位置和速度。代方程(1)入(10)给出了在有效接触期间的运动方程,这里是一个阻尼的线性振荡器:　　dVC/dt+VC/τ+ω02∫VC(t)dt=VT/(Rf×C)+Cf/C×dVT/dt–i/C(12)　　式中τ=R2C2C/Cf　　方程右边的前两项(VT/(Rf×C)和Cf/C×dVT/d)代表接触力,分别模拟小球和桌面之间的弹性和粘性碰撞,当耗散出现时,接触的时间间隔变为　　/ω’=/ω0×(1-1/(2τω0)2)1/2　　这里,张弛时间t由下式给出　　τ=R2C2C/Cf　　其次,自由下落,球与桌面在周期的一半/ω

7、’保持接触,能量耗散,因此解调系数可定义如下:　　K=-Vout/Vin=exp(-/2τω’)(15)　　借助于电路元件和驱动频率的适当选择,接触将在一个短的时间间隔里发生(/ω’1[2]本文为全文原貌未安装PDF浏览器用户请先下载安装原版全文