2009年(北京卷)_理科数学试题及答案

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1、源头学子http://www.wxckt.cnwxckt@126.com2009年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理科数学本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。第I卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。一、本大题共8小题，每小题5分，

2、共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B2．已知向量、不共线，R),,如果，那么（）A．且与同向B．且与反向C．且与同向D．且与反向【答案】D3．为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】C4

3、．若正四棱柱的底面边长为1，与面成60°角，则到底面的距离为（）A．B．1源头学子http://www.wxckt.cnwxckt@126.comC．D．【答案】D5．“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A6．若为有理数），则（）A．45B．55C．70D．80【答案】C7．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324B．328C．360D．648【答案】B8．点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点

4、为“￡点”，那么下列结论中正确的是（）A．直线上的所有点都是“￡点”B．直线上仅有有限个点是“￡点”C．直线上的所有点都不是“￡点”D．直线上有无穷多个点（点不是所有的点）是“￡点”【答案】A第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。题号二三总分151617181920分数二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。把答案填在题中横线上。9．_________.W【答案】源头学子http://www.wxckt.cnwxckt@126.co

5、m10．若实数满足则的最小值为__________.【答案】11．设是偶函数，若曲线在点处的切线的斜率为1，则该曲线在处的切线的斜率为_________.【答案】12．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则_________；的小大为__________.【答案】13．若函数则不等式的解集为____________.【答案】【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法.属于基础知识、基本运算的考查.（1）由.（2）由.∴不等式的解集为，∴应填.14．已知数列满足：则________；=_________.【

6、答案】1，0三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。源头学子http://www.wxckt.cnwxckt@126.com15．（本小题共13分）在中，角的对边分别为，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面积.16．（本小题共14分）如图，在三棱锥中，底面，点，分别在棱上，且（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当为的中点时，求与平面所成的角的大小；（Ⅲ）是否存在点使得二面角为直二面角？并说明理由.【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象能力、运

7、算能力和推理论证能力．（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又，∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，∴，∴在Rt△ABC中，，∴.∴在Rt△ADE中，，∴与平面所成的角的大小.（Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥

8、AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角的平面角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时，源头学子http://www.wxckt.cnwxckt@126.com故存在点E使得二面角是直二面角.【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系，设，由已知可得.（Ⅰ）∵，∴，∴BC⊥AP.又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.（Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC