强化精选：高三数学复习必备专练之《抛物线》

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1、强化精选：高三数学复习必备专练之《抛物线》　　强化精选：高三数学复习必备专练之《抛物线》　　1.已知抛物线y=ax2的准线方程为y=1，则a的值为　　(　　)　　A.4　　　　　B.-14　　C.-4D.14　　答案：B　　2.(2013•四川)抛物线y2=8x的焦点到直线x-3y=0的距离是　　(　　)　　A.23B.2　　C.3D.1　　解析：由抛物线方程知2p=8⇒p=4，故焦点F(2,0)，由点到直线的距离公式知，F到直线x-3y=0的距离d=

2、2-3×0

3、1+3=1.故选D.　　答案：D　　3.设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l

4、，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足.如果直线AF的斜率为-3，那么

5、PF

6、等于　　(　　)　　A.43B.8　　C.83D.16　　解析：设Py28，y，则A(-2，y)，　　由kAF=-3，即y-0-2-2=-3　　得y=43，　　

7、PF

8、=

9、PA

10、=y28+2=8.　　答案：B　　4.(2013•山东)抛物线C1：y=12px2(p>0)的焦点与双曲线C2：x23-y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=　　(　　)　　A.316B.38　　C.233D.433　　解析：设抛物线

11、C1的焦点为F，则F0，p2.　　设双曲线C2的右焦点为F1，则F1(2,0).　　直线FF1的方程为y=-p4x+p2，设Mx0，x202p，因为M在直线FF1上，∴x202p=-p4x0+p2.①　　∵y=12px2，∴y′=1px，∴C1在M点处的切线斜率为1px0，又x23-y2=1的渐近线方程为y=±33x，故由题意得1px0=33，②　　将①、②联立得p=433，故选D.　　答案：D　　5.若抛物线的焦点在直线x-2y-4=0上，则抛物线的标准方程是________.　　解析：x-2y-4=0与两轴的交点为(0，-2)，(4,0)

12、　　方程y2=16x，x2=-8y.　　答案：y2=16x或x2=-8y　　6.已知抛物线y2=4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离

13、MF

14、=4，则点M的横坐标x=________.　　解析：抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线为x=-1.根据抛物线的定义，点M到准线的距离为4，则M的横坐标为3.　　答案：3　　7.(2013•安徽)已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点.若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________.　　解析：法一：如图，以(0，a)为圆心，a为半径作圆，当圆与抛物线有三个或四个交点时

15、，C存在.　　联立y=x2，x2+(y-a)2=a有(y-a)(y-a+1)=0.　　即y=a或y=a-1.故a-1≥0，即a≥1.　　法二：当C与原点重合时，∠ACB最小.故若存在C使得∠ACB为直角，则∠AOB≤π2，即OA→•OB→≥0，故a2-a≥0，又a>0，所以a≥1.　　答案：[1，+∞)　　8.抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程.　　解：如图，依题意设抛物线方程为y2=2px(p>0)，　　则直线方程为y=-x+12p.　　设直线交抛物线于A(x1，y

16、1)、B(x2，y2)，则由抛物线定义得

17、AB

18、=

19、AF

20、+

21、FB

22、=

23、AC

24、+

25、BD

26、=x1+p2+x2+p2，　　即x1+p2+x2+p2=8.①　　又A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，　　由y=-x+12p，y2=2px，消去y得x2-3px+p24=0.　　∴x1+x2=3p.　　将其代入①得p=2，∴所求抛物线方程为y2=4x.　　当抛物线方程设为y2=-2px时，同理可求得抛物线方程为y2=-4x.　　综上，抛物线的方程为y2=±4x.　　9.(2014•河南洛阳期中考试)已知抛物线C：x2=2py(p>0)

27、，O为坐标原点，F为抛物线的焦点，直线y=x与抛物线C相交于不同的两点O、N，且

28、ON

29、=42.　　(1)求抛物线C的方程;　　(2)若直线l过点F交抛物线于不同的两点A，B，交x轴于点M，且MA→=aAF→，MB→=bBF→，对任意的直线l，a+b是否为定值?若是，求出a+b的值;否则，说明理由.　　解：(1)联立方程y=xx2=2py得x2-2px=0，故O(0,0)，N(2p,2p)，∴

30、ON

31、=4p2+4p2=22p，　　由22p=42得p=2，∴抛物线C的方程为x2=4y.　　(2)显然直线l的斜率一定存在且不等于零，设其方程为y=

32、kx+1，则直线l与x轴交点为M-1k，0　　记点A(x1，y1)，B(x2，y2)，　　由y=kx+1x2=4y得x2-4kx-4=0，　　∴Δ=(4k)2-(-