高三第一轮复习数学---函数的值域

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1、高三第一轮复习数学---函数的值域一、教学目标：理解函数值域的意义；掌握常见题型求值域的方法，了解函数值域的一些应用．二、教学重点：求函数的值域．三、教学过程：（一）主要知识：1．函数的值域的定义在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。2．确定函数的值域的原则①当函数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；②当函数y=f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；③当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；④当函数y=f(

2、x)由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。3．求函数值域的方法①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围；②二次函数法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域；③反函数法：将求函数的值域转化为求它的反函数的值域；④判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；⑤单调性法：利用函数的单调性求值域；⑥不等式法：利用平均不等式求值域；⑦图象法：当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域；⑧求导法：当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值，再得值域；⑨几何意义法：由数形结合，转化斜率、距离等求值域。（二）主要方法：求函数的

3、值域的方法常用的有：直接法，配方法，判别式法，基本不等式法，逆求法（反函数法），换元法，图像法，利用函数的单调性、奇偶性求函数的值域等．（三）例题分析：例1．求下列函数的值域：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）．解：（1）（一）公式法（略）（二）（配方法），∴的值域为．改题：求函数，的值域．解：（利用函数的单调性）函数在上单调增，∴当时，原函数有最小值为；当时，原函数有最大值为．∴函数，的值域为．（2）求复合函数的值域：设（），则原函数可化为．又∵，∴，故，∴的值域为．（3）（法一）反函数法：的反函数为，其定义域为，∴原

4、函数的值域为．（法二）分离变量法：，∵，∴，∴函数的值域为．（4）换元法（代数换元法）：设，则，∴原函数可化为，∴，∴原函数值域为．说明：总结型值域，变形：或（5）三角换元法：∵，∴设，则∵，∴，∴，∴，∴原函数的值域为．（6）数形结合法：，∴，∴函数值域为．（7）判别式法：∵恒成立，∴函数的定义域为．由得：①①当即时，①即，∴②当即时，∵时方程恒有实根，∴，∴且，∴原函数的值域为．（8），∵，∴，∴，当且仅当时，即时等号成立．∴，∴原函数的值域为．（9）（法一）方程法：原函数可化为：，∴（其中），∴，∴，∴，∴，∴原函数的值域为．（法二）数形结合法：可看

5、作求点与圆上的点的连线的斜率的范围，解略．例2．若关于的方程有实数根，求实数的取值范围．解：原方程可化为，令，则，，又∵在区间上是减函数，∴，即，故实数的取值范围为：．例3．某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2003年度进行一系列的促销活动．经过市场调查和测算，化妆品的年销量万件与年促销费用万元之间满足：与成反比例；如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2003年，生产化妆品的固定投入为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元．当将每件化妆品的售价定为“年平均每件成本的150％”与“年平均每件所占促销费的一半”之和，则当年产销量相等

6、．（1）将2003年的年利润万元表示为年促销费万元的函数；（2）该企业2003年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？（注：利润＝收入－生产成本－促销费）解：（1）由题设知：，且时，，∴，即，∴年生产成本为万元，年收入为．∴年利润，∴．（2）由（1）得，当且仅当，即时，有最大值．∴当促销费定为万元时，年该化妆品企业获得最大利润．（四）巩固练习：1．函数的值域为．2．若函数在上的最大值与最小值之差为2，则．四、小结：1．熟练掌握求函数值域的几种方法，并能灵活选用；2．求值域时要务必注意定义域的制约；3．含字母参数或参数区间的一类值域问题要进行合理分类讨论

7、；4．用不等式求值域时要注意“=”的成立条件。五、作业：