学年论文2 (1)new

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1、浅谈解对初值的性质应用数学091班：×××指导教师：×××（陕西科技大学××学院陕西西安710021）摘要：介绍解对初值的性质特点--连续性、对称性与可微性，并通过其性质解决生活中问题。通过运用其性质充分掌握解对初值的性质。关键词：初值条件，应用DiscusstheapplicationofthenatureoftheinitialvalueABSTRACT:Introducethenatureoftheinitialvalueofsolution-continuity,symmetryandde

2、rivability.Theirnaturecanbeusedtosolveproblemsindalylife.Byusingthepropertiesofsolutionfortheinitialvaluewecanfullygraspthem.KEYWORDS:initialconditions,theapplication1解对初值的性质(1)对称性定理1设方程(※)满足初始条件的解是唯一的,记为,则在此关系式中,与可以调换其相对位置.即在解的存在范围内成立关系式证明在方程(※)满足初始条

3、件的解的存在区间内任取一点,显然,则由解的唯一性知,过点的解与过点的解是同一条积分曲线,即此解也可写为，并且,有.又由是积分曲线上的任一点,因此关系式对该积分曲线上的任意点均成立.(2)连续性5定理2若函数在区域内连续，且关于满足局部李普希兹条件,则方程(※)的解作为的函数在它的存在范围内是连续的.证明对,方程(※)过的饱和解定义于上,令下证在上连续.对,,使解在上有定义,其中.对,使得当时,又在上对连续,故,使得当时有取,则只要就有从而得知在上连续.(3)可微性定理3如果函数以及都在区域内连续，

4、则对初值问题的解作为的函数，在它有定义的范围内有连续可微的.2实例应用5例1已知方程为试求，.解：方程右端函数在平面内连续，且也在平面内连续，且其满足的解为.于是，.例2假设函数及都在区域内连续，又是方程(※)满足初值条件的解，试证存在且连续，并写出其表达式。证明若（1）成立则及，使当时，初值问题的解满足对一切有,由解关于初值的对称性，(※)的两个解及都过点，由解的存在唯一性，当时故若（2）成立，取定，则，，使当时,对一切有5因初值问题的解为，由解对初值的连续依赖性，对以上，，使当时对一切有而当时

5、，因故这样证明了对一切有例3给定方程，试证，在，时的表达式。解这里满足解对初值的可微性定理条件故：满足的解为5故3总结在初值问题中我们都是把初值看成是固定的数值，然后再去讨论方程经过点的解.但是假如变动，则相应初值问题的解也随之变动，也就是说初值问题的解不仅依赖于自变量,还依赖于初值.通过上面的定理及其证明当初值发生变化时，对应的解变化的规律及特点，并通过例题应用到实际解体当中去。参考文献[1]王高雄.常微分方程[M].北京：高等教育出版社,2006.5