(解答)2006年第2学期工科高数

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1、工科高数（2006年第二学期）华南农业大学期末考试试卷（A）卷2006学年第2学期高等数学（工科）考试时间：120分钟一.填空题（每题3分，共15分）1.设，若，则_____解答：2.设，则_____解答：令，则，从而，即3.将三重积分化为球面坐标的累次积分为_____解答：积分区域为以原点为球心，半径为R的上半球面与xOy面所围区域，在球面坐标下，区域可表示为，所以化为累次积分4.微分方程的通解为_____解答：特征方程为解得因此通解为5.幂级数的收敛半径_____6工科高数（2006年第二学期）解答：，因此收敛半径二.选择题（每题3分，共15分）1.过点且垂

2、直于平面的直线方程是（）A.B.C.D.解答：直线的方向向量为，因此点向式方程为选A2.设D是区域，则（）A.0B.C.D.解答：从被积函数角度考虑，将D看作X型区域选C3.微分方程是（）A.可分离变量方程B.一阶线性方程C.齐次方程D.二阶线性方程解答：选A4.设是区域的正向边界，则（）A.1B.26工科高数（2006年第二学期）C.3D.4解答：由格林公式选C5.下列级数中为条件收敛的级数是（）A.B.C.D.解答：选项A一般项不趋于0，因此不收敛；选项B一般项不趋于0，也不收敛；选项D绝对收敛选C三.计算题（每题7分，共49分）1.判别级数的敛散性解答：，

3、因此该级数与等比同敛散性，而级数收敛，因此原级数收敛.2.设，求解答：两边微分得整理得因此3.计算二次积分解答：积分区域为以原点为圆心半径为1的圆在第一象限的部分。在极坐标系中，积分区域为，因此6工科高数（2006年第二学期）4.求二重积分的值，其中D是由直线围成的平面区域解答：积分区域表示为，因此注意积分中应用对称性5.求微分方程的通解解答：分离变量得两边积分得因此原方程的通解为6.试将函数展开成的幂级数，并求其收敛域解答：由于所以7.计算曲面积分，半球面的外侧解答1：的方程为，在zOx上的投影为，因此6工科高数（2006年第二学期）由于，因此原式令，则原式解

4、答2：的方程为，在zOx上的投影为，因此由对称性，因此又，所以原式四.解答题（每题7分，共21分）1.设，其中为可微函数，证明证明：因此2.在所有对角线为的长方体中，求最大体积的长方体的各边之长解答：设长方体的长宽高分别为，则6工科高数（2006年第二学期）长方体的体积构造拉格朗日函数于是代入得惟一驻点由题目条件知，当长方体的长宽高均为时取得最大体积.3.设函数连续可微，且，试求，使曲线积分与路径无关解答：由于积分与路径无关，因此即相应齐次方程为，其通解为设为非齐次方程的解，代入得积分得，即非齐次方程的通解为代入初始条件得因此6