数值计算方法 第6章复习

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1、第6章逐次逼近法一、考核知识点：向量范数与矩阵范数及其性质，谱半径，对角占优矩阵，迭代法的收敛性，雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法及其收敛性。简单迭代法，牛顿迭代法，割线法，收敛性。二、考核要求：1．了解向量范数的定义、性质；了解矩阵范数的定义、性质，知道谱半径的定义。2．了解对角占优矩阵；了解迭代法的收敛性。3．熟练掌握雅可比迭代法其收敛性的判断。4．熟练掌握高斯-塞德尔迭代法其收敛性的判断。5．熟练掌握用牛顿迭代法、割线法求方程近似根的方法。了解其收敛性。6．掌握用简单迭代法求方程的方法近似根的方法。了解其收敛性。三、重、

2、难点分析例1已知向量X=（1，-2，3）,求向量X的三种常用范数。解，例2证明证明因为所以例3已知矩阵，求矩阵A的三种常用范数。5解，，例4已知方程组（1）写出解此方程组的雅可比法迭代公式（2）证明当时，雅可比迭代法收敛（3）取,，求出。解（1）对，从第个方程解出，得雅可比法迭代公式为：（2）当时，A为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法收敛。（3）取，由迭代公式计算得，，，，5则=（，，）例5考察用雅可比迭代法和高斯-塞德尔迭代法解线性方程组Ax=b的收敛性，其中，解：Jacobi迭代矩阵为：求特征值，r(B)=0<1所以，用雅

3、可比迭代法求解时，迭代过程收敛。Gauss-Seidel迭代矩阵为求特征值，r(G1)=2>1所以，用高斯-塞德尔迭代法求解时，迭代过程发散。例6用高斯——塞德尔迭代法解方程组5（1）写出高斯——塞德尔法迭代公式（2）取，求出解（1）对，从第个方程解出，得高斯——塞德尔法迭代公式为（2），，，，则=（，，）例7证明计算的牛顿法迭代公式为：并用它求的近似值（求出即可）解（1）因计算等于求正根，，代入牛顿法迭代公式得(2)设，因所以在上由，选5用上面导出的迭代公式计算得例8用简单迭代法求的最小正根（求出即可）。解用简单迭代法因，，故

4、在上将，同解变形为则取应用迭代公式，计算得例9求方程的根时，用牛顿法求具有（二阶）收敛速度。用简单迭代法求具有（线性）收敛速度。5