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1、1.如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点在第一象限的抛物线上，求点D关于直线对称的点的坐标；yxOABC（3）在（2）的条件下，连接，点为抛物线上一点，且，求点的坐标．解：∵抛物线y=ax2+bx-4a经过A（-1，0）、C（0，4）两点，∴{0=a-b-4a4=-4a，解之得：a=-1，b=3，∴y=-x2+3x+4；（2）∵点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，∴把D的坐标代入（1）中的解析式得m+1=-m2+3m+4，∴m=3或m=-1，∴m=3，∴D（3，4），∵y
2、=-x2+3x+4=0，x=-1或x=4，∴B（4，0），∴OB=OC，∴△OBC是等腰直角三角形，∴OC=OB，∴∠CBA=45°设点D关于直线BC的对称点为点E∵C（0，4）∴CD∥AB，且CD=3∴∠ECB=∠DCB=45°∴E点在y轴上，且CE=CD=3∴OE=1∴E（0，1）即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）；2已知，如图抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧。点B的坐标为(1，0),OC=30B．(1)、抛物线的解析式；(2)、点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形AB
3、CD面积的最大值：(3)、点E在x轴上，点P在抛物线上。是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．1)点A在B(1,0)的左侧,则点C与Y轴负半轴相交;OB=1,OC=3OB=3,则: 点C为(0,-3).所以： -3=-c；即c=3. 0=a+3a-c=4a-3,a=0.75 故抛物线为：y=0.75x^2+2.25x-3. 2)y=0时，0.75x^2+2.25x-3=0,x=-4或1；即点A为(-4,0),OA=4. 设点D为(m,0.75m^2+2
4、.25m-3),则m<0,0.75x^2+2.25x-3<0. S(ABCD)=S⊿AOD+S⊿OCD+S⊿BOC,即： S(ABCD)=4*│0.75x^2+2.25x-3│/2+3*│m│/2+1*3/2 =4*(-0.75x^2-2.25x+3)/2+3*(-m)/2+3/2 =(-1.5)*(m+2)^2+13.5 则当m=-2时，S四边形ABCD有最大值；最大值为13.5; 3)若以A、P、E、C为顶点的四边形为平行四边形： (1)当点P在第三象限时(如图),且AE∥PC: 由对称性可知,点P1为(-3,
5、-3); (2)当点P在第二象限时(如图),且AC∥PE: 作P2M垂直X轴于点M,易知Rt⊿P2MA≌RtΔCOE2(HL),则P2M=CO=3; 把Y=3代入Y=0.75x^2+2.25x-3,X=(-3±√41)/2.所以,此时: 点P2为([-3-√41]/2,3); (3)当点P在第一象限时(如图),且AC∥PE: 作P3N垂直X轴于N,易知Rr⊿P3NE3≌Rt⊿COA,P3N=CO=3;由(2)可知，此时点P3为(-3+√41]/2,3).3、（09福建宁德）（本题满分13分）如图，已知抛物线C1：的
6、顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求P点坐标及a的值；（4分）（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．（5分）yxAOBPM图1
7、C1C2C3图（1）yxAOBPN图2C1C4QEF图（2）分析：（1）由抛物线C1：y=a（x+2）2-5得顶点P的为（-2，-5），把点B（1，0）代入抛物线解析式，解得，a=59；（2）抛物线C1绕点B旋转180°后得到抛物线C2，故可设抛物线C2的解析式为：y=a（x-4）2+5，又抛物线过点B（1，0），代入即可求出答案；（3）根据抛物线C3由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得点N的纵坐标为5，设点N坐标为（m，5），作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PK⊥NG于K，可求得EF=AB=2BH=6，FG
8、=3，点F坐标为（m+3，0），H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），根据勾股定理得：PN2=NK2+PK2=m2+4m+104，PF2=PH2+HF2=m2+10m+50，NF2=52+32=34．分三种情况讨论，利用勾股定理列方程求解即可．①当2∠PNF=90°时，PN2+NF2=PF2，解得m=443，即Q点坐标为（193，0）；②当∠PFN=90
