第三章：弹性和粘性本构关系

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1、外载约束边界条件静力学动力学平衡方程几何方程本构方程边界条件及初始条件运动方程几何方程本构方程力学分析几何分析物理关系求解解析方法数值方法相互支撑第三章：弹性和粘性本构关系主讲：侯鹏飞固体力学基础：傅衣铭、熊慧而编著，中国科学文化出版社，2003年7月。湖南大学工程力学系柯西弹性和超弹性线性弹性各向同性线性弹性线性粘弹性重点：线性弹性和各向同性线性弹性。了解：柯西弹性和超弹性和线性粘弹性。定位：基础理论部分，属课程学习的重点之一。柯西弹性和超弹性线性弹性各向同性线性弹性线性粘弹性§3.1柯西弹性和超弹性柯西弹性(应力和应变一一对应)超弹性（不但一一对应，且有势函。如应变比能w

2、）线弹性（Eijkl=常数）弹性类别弹性系数独立的弹性系数3621213.1.1柯西弹性和超弹性概念：物理线性（Eijkl=常数）物理非线性（Eijkl≠常数）柯西弹性和超弹性线性弹性各向同性线性弹性线性粘弹性3.1.2线性弹性材料的本构方程111222333234315126直角坐标系下（广义胡克定理）：式(3-16)和(3-18)几种特殊情况下的广义胡克定律分类广义胡克定律独立的弹性常数有一个弹性对称平面正交各向异性（有三个弹性对称平面）横观各向同性（有一个弹性对称轴）各向同性式(3-19)式(3-20)式(3-21)式(3-22)13952一般线弹性式(3-

3、16、18)21柯西弹性和超弹性线性弹性各向同性线性弹性线性粘弹性§3.2各向同性线性弹性材料的本构关系扬氏模量：E剪切模量：泊松比：μ拉梅常数：体积应变：本构方程：式(3-22)或(3-29)球量和偏量的本构方程：式(3-32)体积弹性模量：五个弹性常数：E、μ、G、λ、K，只有两个独立。相关性见表3-1。胡克定理的应用思想：应力和应变须满足胡克定理例题：如图所示钢制圆柱，其直径为d，外面套有一厚度为t的钢制圆筒（圆柱和圆筒间无摩擦），沿圆柱轴向施加均匀压力q，求刚柱内的应力（E、μ已知）。解：建立直角坐标如图，分别分析圆柱和圆筒的应力和应变状态。xyOxzO对圆柱内的任意

4、一点，有：(1)(2)式(1-2)代入胡克定理(3)有(4)(5)对圆筒内表面上的一点A：对于应力，利用圆柱和圆筒在接触面上的作用与反作用关系，以及应力边界条件方程可以得到(6)进一步利用截面法，可以得到(7)此外，易得到(8)对于应变，利用圆柱和圆筒在接触面上的变形协调关系，可以得到xyOxzOA(9)此外，ε2x和ε2z未知。式(6-9)代入胡克定理，有(10)(11)(12)联列式(4、5、10、11、12)，可以得到应力和应变场，其中刚柱内的应力场为(13)xyOxzOA讨论：（1）如果外筒为刚性筒，怎么办？（2）如果是立方体外套刚性筒，怎么办？（3）如果均匀压力q变

5、成集中力P，有什么变化？（4）对于情况有何感想！课后作业：P100：3-1、3-3下周三上课时交。柯西弹性和超弹性线性弹性各向同性线性弹性线性粘弹性§3.5、3.6线性粘弹性材料的微分型本构关系弹性元件粘性元件麦克斯韦模型开尔文模型伯格斯模型广义麦克斯韦模型广义开尔文模型三维化§3.7线性粘弹性材料的积分型本构关系有较大灵活性，便于考虑材料老化和温度影响等因素§3.8弹性-粘弹性相应原理利用拉普拉斯积分的正逆变换，线性粘弹性问题的解可以由对应的线弹性问题的解变换得到。本构关系小结（由厚到薄）1.思想：看线路图回忆查漏。2.需要记忆的公式2.1.各向同性线性弹性本构方程及其中的

6、物理常数G、λ、K与E、μ的关系式；3.需要能熟练使用的部分。各向同性线性弹性本构方程。2.2.球量和偏量的本构方程。柯西弹性和超弹性线性弹性各向同性线性弹性线性粘弹性