简单线性规划——二元一次不等式表示平面区域

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1、简单的线性规划——二元一次不等式表示平面区域一、内容与内容解析本节课是全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上《简单的线性规划问题》的第一课时.主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法．线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成.本节内容蕴含了丰富的数学思想

2、方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想.二、教学目标1.知识目标：了解二元一次不等式（组）的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）表示的平面区域；2.能力目标：培养学生观察、分析、联想、以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，培养学生自主探究意识；3.情感目标：培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勤于思考、勇于探索的精神，让学生学会用运动观点观察事物，了解事物之间从一般到特殊、从特殊到一般的辨证关系，渗透辨证唯物主义认识论的思想．三、教学重点、难点教学重点：灵活运用二元一次不等式（组）来表示平面区域．教学难点：如何确定不等式（

3、或）表示直线的哪一侧区域。四、教学过程【创设情境】问题：以二元一次不等式的解为坐标的点的集合是什么图形呢？【设计意图】从学生熟悉的数学问题入手，创设学生感兴趣的问题情境，使学生容易产生急于解决问题的内驱力。【探究新知】猜想对于直线：来说有：对直线右上方的点,成立；对直线左下方的点,成立。【设计意图】引导学生作出平面直角坐标系内相关的图形，进行猜想归纳，培养其数形结合，合理猜想的能力。证明：在直线上任取一点，过点作平行于轴的直线，在此直线上点右侧的任意一点，都有，所以，，即.因为点是直线上的任意点，所以，对于直线右上方的任意点,都成立.同理，对于直线左下方的任意点

4、,都成立.所以，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集合是在直线右上方的平面区域，如图.类似地，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式的解为坐标的点的集合是在直线左下方的平面区域。【设计意图】证明过程由教师引导，师生协作完成，在这里使学生一方面感受数学所特有的严谨性。通过上面的证明我们得到如下结论结论：一般的，二元一次不等式在平面直角坐标系中表示直线某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。当我们在坐标系中画不等式所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线。区域的判定方法：即由于对在直线同一侧的所有

5、点，把它的坐标带入，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点，从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域.特殊地，当时，常把原点作为此特殊点。即：“直线定界，特殊点定域”.【设计意图】结论的得出，由学生分组讨论，全班同学互相补充完成，使学生体会完成问题中所涉及的由特殊到一般的过程。。【知识应用】例1画出不等式表示的平面区域.解：先画直线（画成虚线），取原点，代入，因为，所以，原点在表示的平面区域内，不等式表示的平面区域如图所示.变式：画出不等式表示的平面区域.解：先画直线，（画成实线），取原点，代入，因为，所以，原点在表示的区域内，不等式表示的

6、平面区域如图所示。例2画出不等式组表示的平面区域.解：不等式表示直线上及右下方的点的集合，表示直线上及右上方的点的集合，表示直线上及左方的点的集合。所以，不等式组表示的平面区域如图.变式1：画出不等式表示的区域。解：不等式表示直线右下方的点的集合，表示直线上及左下方的点的集合，表示直线上及其上方的点的集合。所以，不等式组表示的平面区域如图.变式2：画出不等式表示的平面区域.解：原不等式等价于不等式组或表示的平面区域为【设计意图】例题部分由学生独立完成，变式部分可由小组讨论协作完成，培养学生的合作意识。及时地应用所学的新知，在知识的应用过程中，适时地对问题进行变式

7、训练，让学生在不知不觉中深化了对所学生知识的理解和认识。【提炼总结】1.能够画出二元一次不等式表示的平面区域，注意如何表示边界.2.确定区域的方法：①“直线定界，特殊点定域”；②通过或的系数符号与不等号的方向【设计意图】总结由学生讨论，互相补充完成。适时地引导学生归纳总结其在学习过程中的收获，充分肯定学生的学习成果，鼓励学生进一步提高自主学习的能力。【布置作业】1.阅读本节内容，完成课本2.思考题：已知点不在直线上，求证：若点在的上方，则；若点在的下方，则【设计意图】分层作业，使不同层次的学生都能够学有所得。教学设计与反思鉴于高二学生已具有较好的数学基础知识和较

8、强的分析问题、解决问题的