三角形内外角平分线性质定理

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1、三角形内角与外角平分线性质定理本节内容是关于几何中的一些比例关系，这几节内容现在在初中课本中已“淡化”，但是这几个结论在高中的“立体几何”和“平面解析几何”中有时会用到.因此,在本节中首先把这几个定理内容介绍给同学们,然后利用这三个定理来解决一些题目.其中对于“平行线分线段成比例”介绍几条稍有难度的题目，而“三角形内外角平分线性质定理”的题目直接围绕定理展开，难度不大.教材分析平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例定理的基本图形：如图，因为AD∥BE∥CF，所以AB：BC

2、=DE：EF;AB：AC=DE：DF；BC：AC=EF：DF也可以说AB：DE=BC：EF；AB：DE=AC：DF；BC：EF=AC：DF推论的基本图形:平行线分线段成比例定理推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线），所得的对应线段成比例例3：用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.(文字语言)已知:如图,DE//BC分别交AB、AC于点D、E.求证：(符号语言)CBADEF(图形语言)分析：由平行线分线段成比例定理的推论可

3、直接得到AD:AB=AE:AC.为了证明AE:AC=DE:BC，需要构造一组平行线，使AE、AC、DE、BC成为由这组平行线截得的线段.故作EF//AB.证明：过点E作EF//AB,交BC于点F,∵DE//BC,∴AD:AB=AE:AC.∵EF//AB,∴BF:BC=AE:AC.且四边形DEFB为平行四边形.∴DE=BF.∴DE:BC=AE:AC.CBADEG已知:如图,DE//BC分别交AB、AC于点D、E.求证：(图形语言)法2：为了证明，需用平行线分线段成比例定理.故作CG//AB,且与DE

4、的延长线交于点G.证明:过点C作CG//AB,且与DE的延长线交于点G.∵DE//BC,∴AD:AB=AE:AC∵CG//AB,∴DE:DG=AE:AC∵四边形DEFB为平行四边形，∴DG=BC.例1：证明：（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例）同理可得:例2：证明：（平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。）例3证明：∥∥∥三角形内角平分线定理：ABCD三角形外角平分线定理：ABCDE三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等

5、于它们夹角的平分线分对边之比。已知：如图8-4甲所示，AD是△ABC的内角∠BAC的平分线。求证：BA/AC=BD/DC;思路1：过C作角平分线AD的平行线，用平行线分线段成比例定理证明。证明1：过C作CE∥DA与BA的延长线交于E。则：BA/AE=BD/DC;∵   ∠BAD=∠AEC；（两线平行，同位角相等）∠CAD=∠ACE；（两线平行，内错角相等）∠BAD=∠CAD；（已知）∴   ∠AEC=∠ACE；（等量代换）∴AE=AC；∴BA/AC=BD/DC。结论1：该证法具有普遍的意义。思路2

6、：利用面积法来证明。已知：如图8-4乙所示，AD是△ABC的内角∠BAC的平分线。求证：BA/AC=BD/DC证明2：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F；∵   ∠BAD=∠CAD；（已知）∴DE=DF；∵BA/AC=S△BAD/S△DAC；（等高时，三角形面积之比等于底之比）BD/DC=S△BAD/S△ABCDAC；（同高时，三角形面积之比等于底之比）∴BA/AC=BD/DC结论2：遇到角平分线，首先要想到往角的两边作平行线，构造等腰三角形或菱形，其次要想到往角的两边作垂线，构造翻转的直角三角

7、形全等，第三，要想到长截短补法，第四，你能想到用该定理解决问题吗？三角形外角平分线定理：三角形两边之比等于其夹角的外角平分线外分对边之比。三角形外角平分线定理：如果三角形的外角平分线外分对边成两条线段，那么这两条线段和相邻的两边应成比例.已知：如图8-5甲所示，AD是△ABC中∠BAC的外角∠CAF的平分线。求证：BA/AC=BD/DC思路1：作角平分线AD的平行线，用平行线分线段成比例定理证明。证明1：过C作CE∥DA与BA交于E。则：BA/AE=BD/DC∵   ∠DAF=∠CEA；（两线平行

8、，同位角相等）∠DAC=∠ECA；（两线平行，内错角相等）∠DAF=∠DAC；（已知）∴   ∠CEA=∠ECA；（等量代换）∴AE=AC；∴BA/AC=BD/DC。结论1：该证法具有普遍的意义。角度看问题的方法了吗？思路2：利用面积法来证明。已知：如图8-5乙所示，AD是△ABC内角∠BAC的外角∠CAF的平分线。求证：BA/AC=BD/DC.证明2：过D作DE⊥AC于E，DF∥⊥BA的延长线于F；∵   ∠DAC=∠DAF；（已知）∴DE=DF；∵BA/AC=S△BAD/△DA