05级微积分(下)综合运用练习答案

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1、《微积分》期末考试综合题参考答案一．设，证明：条件收敛证明：（1）设则因此在单调增加。故：即又显然因此由莱布尼兹定理知收敛。（2）再考察因为故发散。综合（1）、（2）知：条件收敛。二．设在的某一邻域内具有二阶连续导数，且。证明：级数绝对收敛。证明：因为在处具有二阶连续导数，且，根据可导必连续，有：=0，。麦克劳林展式：对，，（。因此，，因此，所以，且收敛，所以，绝对收敛。三．已知满足为正整数）。且求级数之和。解：（1）解一阶线性微分方程，得其通解：，代入初始条件得故。（2）原级数即为令。当时，由逐项求导公式，有：，故所以，。四．设求解：（1）（兜圈子），

2、故，，。（2）令当时，由逐项求导公式，有：，故故：五．已知函数的全微分并且求在椭圆域上的最值。解：（1）由得：又故所以，（2）下面求在椭圆域上的最值。（i）令，得驻点，（ii）在椭圆上，由椭圆的参数方程：，。所以，，综合(i),(ii)知，，。六．在椭球面上求一点，使得沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)的方向导数具有最大值。解：（1）记，则沿椭球面上任意一点处的方向导数为。（2）问题转化为求函数在条件下的极值，下用拉格朗日乘数法解之。令由解上述方程组，得：或因此有两个驻点及（3）因为，所以，椭球面上点处沿着A(1,1,1)到B(2,0,1)的方向

3、导数具有最大值。七．证明：曲面上任意一点处的切平面与曲面所围成的立体体积为定值。证明：（1）令，则曲面上任意一点处的切平面的法向量为：，从而点M处的切平面方程为：，化简得：。（2）联立，消去z，得立体向xoy面上的投影区域因此，所求立体的体积为注意：上述计算二重积分的过程中，其实用到了变量替换公式：令则八。设在上连续，试证明：证明：其中，视为常数），所以，（交换积分次序后）（最后一步是利用积分与变量记号无关）。九．设在上连续且单增，记试证明证明：记----（1）由轮换对称性，易知：----------------（2）所以，（因单增，故无论均有即，十．证

4、明：证明：一方面：另一方面：注意：后一不等式用到了：当十一。设L是圆周取逆时针方向，又是正值连续函数，试证：证明：由格林公式：记----（1）又由轮换对称性：---（2），代入（1）式，得：十二。设曲线积分与路径无关，且方程所确定的曲线的图形过点。其中是可微函数，求所确定的曲线。解：（1）由于曲线积分与路径无关，所以，即：（2）解此可分离变量型微分方程得其通解：又曲线的图形过点，所以，因此所求曲线为：十三。设在xoy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分与路径无关，并且对任意的t，恒有求函数。解：（1）由于曲线积分与路径无关，所以，故：----（1）（思考一

5、下，为什么此积分后带的不是任意常数C,而是？）（2）又因为，代入（1）式：---（2）选择平行于坐标轴的折线路径积分分别以定积分表示出左、右两曲线积分，得：，即----（3）（3）式两边同时对t求导，得：，所以。十四。设曲线与x轴交于点O(0,0),A(2,0).曲线在A点处的切线交y轴于B点积分，试计算解：（1）由，，故曲线在A点处的切线方程为：，其与y轴于B（0,4）.（2）记，因为补充直线段，记由所围成的平面区域为，则。所以，十五。设函数具有连续导数，试计算，其中为点与点的直线段下方的任意光滑曲线，且该曲线与直线段所围成的面积为解：记，则因为---

6、-（1）易知又，------（2）------（3）注意到：划线部分可互相抵消：所以，十六。设在上半平面内，函数具有连续偏导数，且对于任意都有。试证明：对D内的任意分段光滑的有向闭曲线L都有证明：（一）因为--（1）（1）式两边对t求导，得：-----（2）（2）式中，令t=1,得：-----（3）（二）由格林公式：十七。设S为椭球面的上半部分，点为S在点P处的切平面，为原点到平面的距离。求解：（一）设切点，则P处的切平面方程为：，即=2整理后，得：由点到平面的距离公式：（二）由，即：。因此（三）十八。设闭区域，，求。解：设，则由已知：----（1），从

7、而，由上式解之，所以，十九。设在上连续，且满足，求。解：（一）由于，所以，-------（1）（1）两边同时对t求导，得：，即----（2）此为一阶线性非齐才次微分方程。（二）由公式，解方程（2），得：-（3）又显见，代入（3），得：C=1.所以，二十。设有半径为R的定球，另有一半径r为的变球与定球相割。若变球中心在定球球面上，试问：当r等于多少时，含在定球内的变球部分的表面积最大，并求出最大表面积。解：（一）建立空间直角坐标系，使原点在定球球心上，两球的球心连线为z轴。则定球的方程为：，变球：。由，。所以，又联立，消去z，得投影区域为（二）由公式，所求

8、变球含在定球内的变球部分的表面积（三）令又所以，在取到最大值。二十一。在底半径为