麦克斯韦气体速率分布函数

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1、设总粒子数为N，粒子速度在x,y,z三个方向的分量分别为v(x),v(y),v(z)。(1)以dNv(x)表示速度分量v(x)在v(x)到v(x)+dv(x)之间的粒子数，则一个粒子在此dv(x)区间出现的概率为dNv(x)/N。粒子在不同的v(x)附近区间dv(x)内出现的概率不同，用分布函数g(v(x))表示在单位v(x)区间粒子出现的概率，则应有dNv(x)/N=g(v(x))dv(x)系统处于平衡态时，容器内各处粒子数密度n相同，粒子朝任何方向运动的概率相等。因此相应于速度分量v(y),v(z)，也应有相同形式的分布函数g(v(y))，g(v(z))，使

2、得相应的概率可表示为dNv(y)/N=g(v(y))dv(y)dNv(z)/N=g(v(z))dv(z)(2)假设上述三个概率是彼此独立的，又根据独立概率相乘的概率原理，得到粒子出现在v(x)到v(x)+dv(x)，v(y)到v(y)+dv(y)，v(z)到v(z)+dv(z)间的概率为dNv/N=g(v(x))g(v(y))g(v(z))dv(x)dv(y)dv(z)=Fdv(x)dv(y)dv(z)式中F=g(v(x))g(v(y))g(v(z))，即为速度分布函数。(3)由于粒子向任何方向运动的概率相等，所以速度分布应与粒子的速度方向无关。因而速度分布函数

3、应只是速度大小v=√(v(x)²+v(y)²+v(z)²)的函数。这样，速度分布函数就可以写成下面的形式：g(v(x))g(v(y))g(v(z))=F(v(x)²+v(y)²+v(z)²)要满足这一关系，函数g(v(x))应具有C*exp(A*v(x)^2)的形式。因此可得F=C*exp(A*v(x)²)*C*exp(A*v(y)²)*C*exp(A*v(z)²)=C³exp(Av²)下面来定常数C及A。考虑到具有无限大速率的粒子出现的概率极小，故A应为负值。令A=-1/α²，则dNv/N=C³exp(-v²/α²)dv(x)dv(y)dv(z)=C³exp[

4、-(v(x)²+v(y)²+v(z)²)/α²]dv(x)dv(y)dv(z)由于粒子的速率在从-∞到+∞的全部速率区间内出现的概率应等于1，即分布函数应满足归一化条件，所以∫dNv/N=C³∫exp(-v(x)²/α²)dv(x)∫exp(-v(y)²/α²)dv(y)∫exp(-v(z)²/α²)dv(z)=C³√(πα²)³=1，可得C=1/(α√π)，从而得到麦克斯韦速度分布律：dNv/N=(α√π)‾³exp(-v²/α²)dv(x)dv(y)dv(z)=(α√π)‾³exp[-(v(x)²+v(y)²+v(z)²)/α²]dv(x)dv(y)dv(z

5、)(4)由上式还可导出速率分布律。可以设想一个用三个相互垂直的轴分别表示v(x),v(y),v(z)的“速度空间”。在这一空间内从原点到任一点(v(x),v(y),v(z))的连线都代表一个粒子可能具有的速度。由于速率分布与速度的方向无关，所以粒子的速率出现在同一速率v处的速率区间dv内的概率相同。这一速率区间是半径为v，厚度为dv的球壳，其总体积为4πv²dv，从而可得粒子的速率在v到v+dv区间出现的概率为dNv/N=4π(α‾³/√π)exp(-v²/α²)v²dv(5)确定常数α。由上式可求出粒子速率平方的平均值为=∫v²*4π(α‾³/√π)e

6、xp(-v²/α²)v²dv=1.5α²，而由压强微观公式p=nm/3和理想气体状态方程pV=NkT=nVkT得=3kT/m，故α²=2kT/m，从而可得速度分布率F(v)=dNv/(Ndv(x)dv(y)dv(z))=√(m/2πkT)³exp(-mv²/2kT)和速率分布率f(v)=dNv/(Ndv)=4π√(m/2πkT)³v²exp(-mv²/2kT)，沿x方向的速度分量v(x)的分布率应为g(v(x))=dNv/(Ndv(x))=√(m/2πkT)exp(-mv(x)²/2kT).